立体射影により \(\mathbb{C}\) 上の円または直線は, \(\mathbb{K}\) 上の円に対応することを示せ。(円円対応)
※ 直線は半径 \(\infty\) の円と見なしてこの事実を円円対応という。
\(\mathbb{C}\) 上の円または直線の方程式は
\(a(x^2+y^2)+2bx+2cy+d=0\; (a,b,c,d は実数で, b^2+c^2-ad\geq 0)\)
・例題1.2 解答の補足①より(係数の記号が異なるので読み替える), 直線の方程式は上式で
\(a=0 \Rightarrow 2bx+2cy+d=0\)
・例題1.2 解答の補足②より(係数の記号が異なるので読み替える),円の方程式は上式になり,
半径が正になる条件は \(b^2+c^2-ad \gt 0\)。
これに公式 (1) を代入すると
\[
a\left(\left(\frac{\xi}{1-\zeta}\right)^2+\left(\frac{\eta}{1-\zeta}\right)^2\right)+2b\frac{\xi}{1-\zeta}+2c\frac{\eta}{1-\zeta}+d=0
\]
両辺に \((1-\zeta)^2\) を掛けて
\[
a(\xi^2+\eta^2)+2b(1-\zeta)\xi+2c(1-\zeta)\eta+(1-\zeta)^2d=0
\]
公式(1)の \(\xi^2+\eta^2+\zeta^2=\zeta\) より \(\xi^2+\eta^2 = \zeta - \zeta^2=\zeta(1-\zeta)\)
\[
\begin{align}
&a\zeta\cancel{(1-\zeta)}+2b\cancel{(1-\zeta)}\xi+2c\cancel{(1-\zeta)}\eta+(1-\zeta)^{\cancel{2}}d=0 \\
\\
&a\zeta+2b\xi+2c\eta+(1-\zeta)d=0 \\
\\
&(a-d)\zeta+2b\xi+2c\eta+d=0
\end{align}
\]
\(\zeta, \xi,\eta\) の係数 \(a-d, 2b, 2c\) が同時に 0 になる場合, 条件 \(b^2+c^2-ad\gt 0\) を満たさない。
\((a-d=0, b=0,c=0\) なら \(b^2+c^2-ad=-a^2 \cancel{\gt} 0)\)。
したがって, \(a-d, b, c\) のいずれかは 0 ではない。
・二次元の場合, 法線ベクトル \((\alpha,\beta)\) と点\((x,y)\) の内積が一定になる点の集合は直線だった。
\((\alpha, \beta)\cdot (x,y)=\alpha\cdot x+\beta\cdot y = \gamma\)
・三次元の場合, 法線ベクトル \((\alpha,\beta,\gamma)\) と点 \((x,y,z)\) の内積が一定になる点の集合は平面をあらわす。
\((\alpha,\beta,\gamma)\cdot(x,y,z)=\alpha\cdot x+\beta\cdot y+\gamma\cdot z = \delta \)
\((a-d)\zeta+2b\xi+2c\eta+d=0\) は平面上の点になる。
ところで \((\xi,\eta,\zeta)\) はリーマン球面上の点でもあるので、平面と球面の交線(円)になる。
リーマン球面上の円は、平面との交線なので, 平面の式を満たす。
(\(\lambda\xi+\mu\eta+\nu\zeta+\delta=0\), \(\lambda,\mu,\nu\) は実数)
公式(2)を代入。
\[
\begin{align}
&\lambda\frac{x}{x^2+y^2+1}+\mu\frac{y}{x^2+y^2+1}+\nu\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+1}+\delta=0 \\
\\
&\lambda x + \mu y + \nu x^2+ \nu y^2 + \delta x^2 + \delta y^2 + \delta = 0 \\
\\
&(\nu+\delta)(x^2+y^2)+\lambda x+\mu y + \delta = 0
\end{align}
\]
これは
\(\mathbb{C}\) 上の円または直線の方程式は
\(a(x^2+y^2)+2bx+2cy+d=0\; (a,b,c,d は実数で, b^2+c^2-ad\geq 0)\)
と同じ形になっており、複素平面上の円または直線になっている。