・\(xy\) 平面上の円の方程式：\(k(x^2+y^2)+2fx+2gy+c=0 (k\neq 0)\)の導出
・原点を中心とした半径 \(r\) の円：\(x^2+y^2=r^2\)
・任意の点 \((a,b)\) を中心とした半径 \(r\) の円: \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)
・展開すると \(x^2 - 2ax+a^2+y^2-2by+b^2-r^2=0\)
・変数の次数毎に整理すると、\(x^2+y^2-2ax-2by+a^2+b^2-r^2=0\)
・全体を \(k\) 倍すると(※)、\(k(x^2+y^2)-2akx-2bky+k(a^2+b^2-r^2)= 0\)
・次数毎の係数を1個にまとめると \(k(x^2+y^2)+2fx+2gy+c=0\)
\(f=-ak\)
\(g=-bk\)
\(c=k(a^2+b^2-r^2)\)
※ 係数をまとめると半径のパラメータが明示的ではなくなるので、\(k\) でスケーリングできるようにしていると思われる(Copilotに教わった)。
\(k=0\) だと \(0=0\) となり, 変数が登場せず点の集合を規定できなくなるので \(k\neq 0\) の条件が必要。
係数 2 を \(f,g\) に取り込むと, 以下の条件式がやや複雑になる(ので取り込まない)。
\(f^2+g^2-kc=(-ak)^2+(-bk)^2-k^2(a^2+b^2-r^2)\)
\(=a^2k^2+b^2k^2-k^2(a^2+b^2-r^2)\)
\(=k^2r^2\)
\(\Rightarrow\) 半径が正になる条件：\(f^2+g^2 \gt kc\)