1.1 複素平面
例題1.2 解答
- ⅰ) 複素平面上の直線は、次の形で表されることを示せ。
\[
\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}+c = 0 (\alpha\neq 0, cは実数)
\]
・\(xy\) 平面上の直線の方程式：\(ax+by+c=0 (a,b)\neq (0,0)\)
(この式の導出はこちら）
・\(x=Re(z)=\displaystyle\frac{z+\overline{z}}{2}, y=Im(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}=-i\frac{z-\overline{z}}{2}\) を代入する
・\(\displaystyle\frac{a}{2}(z+\overline{z})-i\frac{b}{2}(z-\overline{z})+c=0\)
\(\displaystyle\frac{a-ib}{2}z+\frac{a+ib}{2}\overline{z}+c=0\)
・\(\alpha=\displaystyle\frac{a+ib}{2}\) とおくと
\(\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}+c = 0 (\alpha\neq 0)\) となる。
- ⅱ) 複素平面上の円は、次の形で表されることを示せ。
\[
kz\overline{z}+\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}+c=0 (k\neq 0 および c は実数,\alpha\overline{\alpha}\gt kc)
\]
・\(xy\) 平面上の円の方程式：\(k(x^2+y^2)+2fx+2gy+c=0 (k\neq 0)\)
(この式の導出はこちら）
・\(z=x+iy\) とすると, \(x^2+y^2=z\overline{z}, 2x=z+\overline{z}, 2y=-i(z-\overline{z})\)
・\(kz\overline{z}+f(z+\overline{z})-ig(z-\overline{z})+c = 0\)
・\(kz\overline{z}+(f-ig)z+(f+ig)\overline{z}+c=0\)
・\(f+ig=\alpha\) とおくと, \(kz\overline{z}+\overline{\alpha}z+\alpha\overline{z}+c=0\)
・半径が正になるためには、\(f^2+g^2\gt kc \Longleftrightarrow \alpha\overline{\alpha} \gt kc\)
(この条件はこちら参照）
- ⅲ) 楕円 \(\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a\gt b\gt 0)\) を \(z,\overline{z}\) を用いて表せ。
・\(z=x+iy\) とすると \(x=\displaystyle\frac{z+\overline{z}}{2}, y=\frac{z-\overline{z}}{2i}\)
\(\Rightarrow \displaystyle\frac{1}{a^2}\left(\frac{z+\overline{z}}{2}\right)^2+\frac{1}{b^2}\left(\frac{z-\overline{z}}{2i}\right)^2=1\)