複素関数

ⅰ) 複素平面上の 3 点 \(z_1,z_2,z_3\) を頂点とする三角形 \(\triangle z_1z_2z_3\) の重心を表す点は \(\frac{1}{3}(z_1+z_2+z_3)\) であることを示せ。

・2次元空間上の3点 \((x_1,y_1),(x_2,y_2),(x_3,y_3)\) が作る三角形の重心の座標は \[ \begin{align} x_G~&= \frac{x_1+x_2+x_3}{3} \\ \\ y_G &= \frac{y_1+y_2+y_3}{3} \end{align} \] 　だった。(求め方はこちら)

・これらを実部, 虚部とする複素数で表現すると \[ \begin{align} z_G &= x_G+iy_G = \frac{x_1+x_2+x_3}{3}+i\frac{y_1+y_2+y_2}{3} \\ \\ &= \left(\frac{x_1}{3}+i\frac{y_1}{3}\right)+\left(\frac{x_2}{3}+i\frac{y_2}{3}\right)+\left(\frac{x_3}{3}+i\frac{y_3}{3}\right) \\ \\ &= \frac{1}{3}\left((x_1+iy_1)+(x_2+iy_2)+(x_3+iy_3)\right)\\ \\ &=\frac{1}{3}(z_1+z_2+z_3) \end{align} \] 　となる。

ⅱ) \(|z_1-z_2|^2+|z_1+z_2|^2=2(|z_1|^2+|z_2|^2)\) を証明せよ。(三角形の中線定理)

・(うまいことは考えず, )そのまま計算する。
\[ \begin{align} &|z_1-z_2|^2+|z_1+z_2|^2 \\ \\ 　&=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2 \\ \\ 　&=x_1^2-\cancel{2x_1x_2}+x_2^2+y_1^2-\cancel{2y_1y_2}+y_2^2+x_1^2+\cancel{2x_1x_2}+x_2^2+y_1^2+\cancel{2y_1y_2}+y_2^2 \\ \\ 　&=2(x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2)=2(|z_1|^2+|z_2|^2) \end{align} \]

1.1 複素平面