Our work so far has consisted in setting up a general mathematical
scheme connecting states and observables in quantum mechanics.
One of the dominant features of this scheme is that observables, and
dynamical variables in general, appear in it as quantities which do
not obey the commutative law of multiplication. It now becomes
necessary for us to obtain equations to replace the commutative law
of multiplication, equations that will tell us the value of \(\xi\eta - \eta\xi\) when
\(\xi\) and \(\eta\) are any two observables or dynamical variables. Only when
such equations are known shall we have a complete scheme of
mechanics with which to replace classical mechanics. These new
equations are called quantum conditions or commutation relations.
これまでの我々の研究は、量子力学における状態と観測量を結びつける一般的な数学的枠組みを構築することであった。この枠組みの主要な特徴の一つは、観測量、そして一般的な力学変数が、乗法の交換法則に従わない量として現れることである。そこで、乗法の交換法則に代わる方程式、すなわち、\(\xi\) と \(\eta\) が任意の2つの観測量または力学変数であるときに、\(\xi\eta - \eta\xi\) の値を与える方程式を得ることが必要となる。このような方程式が得られた時に初めて、古典力学に代わる完全な力学枠組みが得られる。これらの新しい方程式は、量子条件または交換関係と呼ばれる。
The problem of finding quantum conditions is not of such a general
character as those we have been concerned with up to the present. It
is instead a special problem which presents itself with each particular
dynamical system one is called upon to study. There is, however,
a fairly general method of obtaining quantum conditions, applicable
to a very large class of dynamical systems. This is the method of
classical analogy and will form the main theme of the present chapter.
Those dynamical systems to which this method is not applicable
must be treated individually and special considerations used in each
case.
量子条件を見つける問題は、これまで我々が扱ってきたような一般的な性質のものではありません。むしろ、研究対象となる個々の力学系に特有の問題です。しかしながら、非常に多くの種類の力学系に適用可能な、量子条件を得るためのかなり一般的な方法があります。これが古典的アナロジー法であり、本章の主題となります。この方法が適用できない力学系については、個別に扱い、それぞれのケースに特別な考慮を払う必要があります。
The value of classical analogy in the development of quantum
mechanics depends on the fact that classical mechanics provides a
valid description of dynamical systems under certain conditions,
when the particles and bodies composing the systems are sufficiently
massive for the disturbance accompanying an observation to be
negligible. Classical mechanics must therefore be a limiting case of
quantum mechanics. We should thus expect to find that important
concepts in classical mechanics correspond to important concepts in
quantum mechanics, and, from an understanding of the general
nature of the analogy between classical and quantum mechanics, we
may hope to get laws and theorems in quantum mechanies appearing
as simple generalizations of well-known results in classical mechanics;
in particular we may hope to get the quantum conditions appearing
as a simple generalization of the classical law that all dynamical
variables commute.
量子力学の発展における古典力学の類推の価値は、ある条件下において、力学系を構成する粒子や物体の質量が観測に伴う擾乱を無視できるほど十分大きい場合、古典力学が力学系の有効な記述を与えるという事実に依存している。したがって、古典力学は量子力学の極限ケースでなければならない。したがって、古典力学の重要な概念は量子力学の重要な概念に対応することが期待され、古典力学と量子力学の類推の一般的な性質を理解することで、量子力学の法則や定理が古典力学のよく知られた結果の単純な一般化として現れることが期待できる。特に、量子条件が、すべての力学変数が可換であるという古典力学の法則の単純な一般化として現れることが期待できる。
Let us take a dynamical system composed of a number of particles
in interaction. As independent dynamical variables for dealing with
the system we may use the Cartesian coordinates of all the particles
and the corresponding Cartesian components of velocity of the par-
ticles. It is, however, more convenient to work with the momentum
components instead of the velocity components. Let us call the
coordinates \(q_r,r\) going from 1 to three times the number of particles,
and the corresponding momentum components \(p_r\). The \(q\)'s and \(p\)'s
are called canonical coordinates and momenta.
相互作用する多数の粒子からなる力学系を考えてみましょう。この系を扱うための独立した力学変数として、すべての粒子の直交座標と、それに対応する粒子の速度の直交座標成分を使用することができます。しかし、速度成分ではなく運動量成分を扱う方が便利です。粒子数の1倍から3倍までの座標を \(q_r,r\) と呼び、それに対応する運動量成分を \(p_r\) と呼びましょう。\(q\) と \(p\) はそれぞれ正準座標と運動量と呼ばれます。
The method of Lagrange's equations of motion involves introdu-
cing coordinates \(q_r\) and momenta \(p_r\) in a more general way, applicable
also for a system not composed of particles (e.g. a system containing
rigid bodies). These more general \(q\)'s and \(p\)'s are also called canonical
coordinates and momenta. Any dynamical variable is expressible in
terms of a set of canonical coordinates and momenta.
ラグランジュの運動方程式法では、より一般的な方法で座標 \(q_r\) と運動量 \(p_r\) を導入し、粒子を含まない系（例えば剛体を含む系）にも適用できます。これらのより一般的な \(q\) と \(p\) は、正準座標と運動量とも呼ばれます。あらゆる力学変数は、正準座標と運動量の集合で表現できます。
An important concept in general dynamical theory is the Poisson
Bracket. Any two dynamical variables \(u\) and \(v\) have a P.B.(Poisson
Bracket) which we shall denote by \([u,v]\), defined by
一般力学理論における重要な概念にポアソン括弧があります。任意の2つの力学変数 \(u\) と \(v\) には、\([u,v]\) と表記されるポアソン括弧 (P.B.) があり、次のように定義されます。
\[
[u,v] = \sum_r \left\{\frac{\partial u}{\partial q_r}\frac{\partial v}{\partial p_r} - \frac{\partial u}{\partial p_r}\frac{\partial v}{\partial q_r}\right\} \tag{1}
\]
\(u\) and \(v\) being regarded as functions of a set of canonical coordinates
and momenta \(q_r\) and \(p_r\) for the purpose of the differentiations. The
right-hand side of (1) is independent of which set of canonical
coordinates and momenta are used, this being a consequence of the
general definition of canonical coordinates and momenta, so the
P.B. \([u,v]\) is well defined.
微分のために、\(u\) と \(v\) は、正準座標と運動量 \(q_r\) と \(p_r\) の関数とみなされます。(1) の右辺は、どの正準座標と運動量の組が使用されるかに依存しません。これは、正準座標と運動量の一般的な定義の帰結であり、したがって、P.B. \([u,v]\) は明確に定義されます。
The main properties of P.B.s, which follow at once from their
detinition (1), are
P.B.の主な特性は、定義(1)からすぐにわかるように、
\[
\begin{align}
[u,v] &= —[v,u] \tag{2} \\
\\
[u,c] &= 0 \tag{3}
\end{align}
\]
where \(c\) is a number (which may be considered as a special case of a
dynamical variable),
ここで \(c\) は数値（力学変数の特別なケースとみなされる）であり、
\[
\left.
\begin{align}
[u_1+u_2, v] &= [u_1,v] + [u_2,v] \\
\\
[u, v_1+v_2] &= [u,v_1] + [u,v_2]
\end{align}
\right\}
\tag{4}
\]
\[
[u_1 u_2, v] = \sum_r \left\{\left(\frac{\partial u_1}{\partial q_r}u_2+u_1\frac{\partial u_2}{\partial q_r}\right)\frac{\partial v}{\partial p_r}
-\left(\frac{\partial u_1}{\partial p_r}u_2+u_1\frac{\partial u_2}{\partial p_r}\right)\frac{\partial u}{\partial q_e}\right\} \\
\]
\[
\left.
\begin{align}
&=[u_1,v]u_2+u_1[u_2,v] \\
\\
[u,v_1 v_2] &= [u,v_1]v_2+v_1[u,v_2]
\end{align}
\right\} \tag{5}
\]
Also the identity
恒等式
\[
[u,[v,w]] + [v,[w,u]] + [w,[u,v]] = 0 \tag{6}
\]
is easily verified. Equations (4) express that the P.B. \([u,v]\) involves
\(u\) and \(v\) linearly, while equations (5) correspond to the ordinary rules
for differentiating a product.
も簡単に検証できる。式(4)は、P.B. \([u,v]\)が\(u\)と\(v\)を線形に含むことを表しており、式(5)は積を微分するための通常の規則に対応している。
Let us try to introduce a quantum P.B. which shall be the analogtie
of the classical one. We assume the quantum P.B. to satisfy all the
conditions (2) to (6), it being now necessary that the order of the
factors \(u_1\) and \(u_2\) in the first of equations (5) should be preserved
throughout the equation, as in the way we have here written it, and
similarly for the \(v_1\) and \(v_2\) in the second of equations (5). These condi-
tions are already sufficient to determine the form of the quantum
P.B. uniquely, as may be seen from the following argument. We can
evaluate the P.B. \([u_1, u_2, v_1 v_2]\) in two different ways, since we can use
either of the two formulas (5) first, thus,
古典力学モデルに類似した量子力学モデルを導入してみよう。量子力学モデルは条件(2)から(6)までをすべて満たすものと仮定する。ここで、式(5)の最初の式における因子\(u_1\)と\(u_2\)の順序は、ここで示したように式全体を通して維持される必要がある。また、式(5)の2番目の式における\(v_1\)と\(v_2\)についても同様である。これらの条件は、以下の議論からわかるように、量子力学モデルの形を一意に決定するのに十分である。\([u_1, u_2, v_1 v_2]\)は、2つの異なる方法で評価することができる。なぜなら、2つの式(5)のどちらかを最初に使用できるからである。
\[
\begin{align}
[u_1 u_2,v_1 v_2] &= [u_1,v_1 v_2]u_2+u_1[u_2,v_1 v_2] \\
\\
&= \{[u_1,v_1]v_2+v_1[u_1,v_2]\}u_2+u_1\{[u_2,v_1]v_2+v_1[u_2,v_2]\} \\
\\
&=[u_1,v_1]v_2u_2+v_1[u_1,v_2]u_2+u_1[u_2,v_1]v_2+u_1v_1[u_1,v_2]
\end{align}
\]
and
および
\[
\begin{align}
[u_1 u_2, v_1 v_2] &= [u_1 u_2,v_1]v_2+v_1[u_1 u_2,v_2] \\
\\
&=[u_1,v_1]u_2v_2+u_1[u_2,v_1]v_2+v_1[u_1,v_2]u_2+v_1u_1[u_2,v_2]
\end{align}
\]
Equating these two results, we obtain
これら2つの結果を等しくすると、
\[
[u_1,v_1](u_2v_2-v_2u_2) = (u_1v_1 - v_1u_1)[u_2,v_2]
\]
Since this condition holds with \(u_1\) and \(v_1\) quite independent of \(u_2\) and
\(v_2\), we must have
この条件は \(u_1\) と \(v_1\) については \(u_2\) と \(v_2\) とは全く独立して成り立つので、
\[
\begin{align}
u_1v_1 - v_1u_1 &= i\hbar[u_1,v_1] \\
\\
u_2v_2 - v_2u_2 &= i\hbar[u_2,v_2]
\end{align}
\]
where \(\hbar\) must not depend on \(u_1\) and \(v_1\) nor on \(u_2\) and \(v_2\) and also
must commute with \((u_1v_1 - v_1u_1)\). It follows that \(\hbar\) must be simply
a number. We want the P.B. of two real variables to be real, as in
the classical theory, which requires, from the work at the top of p.28,
that \(\hbar\) shall be a real number when introduced, as here, with the
coefficient \(i\). We are thus led to the following definition for the
quantum P.B.\([u,v]\) of any two variables \(u\) and \(v\),
ここで、\(\hbar\) は \(u_1\) と \(v_1\) にも \(u_2\) と \(v_2\) にも依存せず、また \((u_1v_1 - v_1u_1)\) と可換でなければならない。したがって、\(\hbar\) は単なる数でなければならない。古典理論では、28ページ冒頭の研究によれば、\(\hbar\) は、ここでのように係数 \(i\) を用いて導入される場合には実数となることが必要であるが、2つの実変数の P.B. は実数となるべきである。したがって、任意の2つの変数 \(u\) と \(v\) の量子 P.B..\([u,v]\) は次のように定義される。
\[
uv—vu = i\hbar[u,v] \tag{7}
\]
in which \(\hbar\) is a new universal constant. It has the dimensions of
action. In order that the theory may agree with experiment, we
must take \(\hbar\) equal to \(h/2\pi\), where \(h\) is the universal constant that
was introduced by Planck, known as Planck's constant. It is easily
verified that the quantum P.B. satisfies all the conditions (2), (3), (4),
(5), and (6).
ここで、\(\hbar\) は新しい普遍定数です。これは作用の次元を持ちます。理論が実験と一致するためには、\(\hbar\) を \(h/2\pi\) と等しくする必要があります。ここで、\(h\) はプランクによって導入された普遍定数で、プランク定数として知られています。量子 P.B. が条件 (2)、(3)、(4)、(5)、(6) をすべて満たすことは簡単に検証できます。
The problem of finding quantum conditions now reduces to the
problem of determining P.B.s in quantum mechanics. The strong
analogy between the quantum P.B. defined by (7) and the classical
P.B. defined by (1) leads us to make the assumption that the quantum
P.B.s, or at any rate the simpler ones of them, have the same values
ag the corresponding classical P.B.s. The simplest P.B.s are those
involving the canonical coordinates and momenta themselves and
have the following values in the classical theory:
量子条件を見つける問題は、量子力学におけるP.B.を決定する問題へと帰着する。(7)で定義される量子P.B.と(1)で定義される古典P.B.との間の強い類似性から、量子P.B.、あるいは少なくともその中でより単純なものは、対応する古典P.B.と同じ値を持つという仮定が導かれる。最も単純なP.B.は、正準座標と運動量自身を含むものであり、古典理論において以下の値を持つ。
\[
\left.
\begin{align}
&[q_r,q_s] = 0, [p_r,r_s]=0 \\
\\
&[q_r,p_s] = \delta_{rs}
\end{align}
\right\}
\tag{8}
\]
We therefore assume that the corresponding quantum P.B.s also
have the values given by (8). By eliminating the quantum P.B.s
with the help of (7), we obtain the equations
したがって、対応する量子P.B.も(8)で与えられた値を持つと仮定する。(7)を用いて量子P.B.を消去すると、以下の式が得られる。
\[
\left.
\begin{align}
&q_rq_s - q_sq_r = 0, p_rp_s - p_sp_r = 0 \\
\\
&q_rp_s - p_sq_r = i\hbar\delta_{rs}
\end{align}
\right\}
\tag{9}
\]
which are the fundamental quantum conditions. They show us where
the lack of commutability among the canonical coordinates and
momenta lies. They also provide us with a basis for calculating com-
mutation relations between other dynamical variables. For instance,
if \(\xi\) and \(\eta\) are any two functions of the \(q\)'s and \(p\)'s expressible as
power series, we may express \(\xi\eta - \eta\xi\) or \([\xi,\eta]\), by repeated applica-
tions of the laws (2), (3), (4), and (5), in terms of the elementary
P.B.s given in (8) and so evaluate it. The result is often, in simple
cases, the same as the classical result, or departs from the classical
result only through requiring a special order for factors in a product,
this order being, of course, unimportant in the classical theory. Even
when \(\xi\) and \(\eta\) are more general functions of the \(q\)'s and \(p\)'s not ex-
pressible as power series, equations (9) are still sufficient to fix the
value of \(\xi\eta - \eta\xi\), as will become clear from the following work.
Equations (9) thus give the solution of the problem of finding the
quantum conditions, for all those dynamical systems which have a
classical analogue and which are describable in terms of canonical
coordinates and momenta. This does not include all possible systems
in quantum mechanics.
これらは基本的な量子条件である。これらは、正準座標と運動量の間の可換性の欠如がどこにあるのかを教えてくれる。また、他の力学変数間の交換関係を計算するための基礎も提供する。例えば、\(\xi\) と \(\eta\) が \(q\) と \(p\) のべき級数として表現可能な任意の2つの関数である場合、(2)、(3)、(4)、および(5)の法則を(8)で与えられた基本的なP.B.を用いて繰り返し適用することにより、\(\xi\eta - \eta\xi\) または \([\xi,\eta]\) を表現することができ、それを評価することができる。単純なケースでは、結果は古典的な結果と同じになることが多いが、積の因数に特別な順序を要求するという点のみで古典的な結果から逸脱する。もちろん、この順序は古典理論では重要ではない。 \(\xi\) と \(\eta\) が \(q\) と \(p\) のより一般的な関数であり、冪級数として表せない場合でも、式 (9) は \(\xi\eta - \eta\xi\) の値を確定するのに十分であり、これは以下の研究で明らかになる。
したがって、式 (9) は、古典的な類似体を持ち、正準座標と運動量で記述可能なすべての力学系に対して、量子条件を求める問題の解を与える。これは量子力学におけるすべての可能な系を網羅しているわけではない。
Equations (7) and (9) provide the foundation for the analogy
between quantum mechanics and classical mechanics. They show
that classical mechanics may be regarded as the limiting case of quantum
mechanics when \(\hbar\) tends to zero. A P.B. in quantum mechanics is a
purely algebraic notion and is thus a rather more fundamental con-
cept than a classical P.B., which can be defined only with reference to
a set of canonical coordinates and momenta. For this reason canonical
coordinates and momenta are ofless importance in quantum mechanics
than in classical mechanics; in fact, we may have a system in quan-
tum mechanics for which canonical coordinates and momenta do
not exist and we can still give a meaning to P.B.s. Such a system
would be one without a classical analogue and we should not be able
to obtain its quantum conditions by the method here described.
式(7)および式(9)は、量子力学と古典力学の類似性の基礎を提供する。これらは、\(\hbar\)がゼロに近づくとき、古典力学は量子力学の極限ケースとみなせることを示している。量子力学におけるP.B.は純粋に代数的な概念であり、したがって、一連の正準座標と運動量を参照してのみ定義できる古典的なP.B.よりもかなり基本的な概念である。このため、正準座標と運動量は、古典力学よりも量子力学において重要度が低い。実際、量子力学には正準座標と運動量が存在しない系が存在する可能性があり、それでもP.B.に意味を与えることができる。このような系は古典的な類似系を持たない系であり、ここで述べた方法ではその量子条件を得ることはできないはずである。
From equations (9) we see that two variables with different suffixes
\(r\) and \(s\) always commute. It follows that any function of \(q_r\) and \(p_s\)
will commute with any function of \(q_s\) and \(p_s\) when \(s\) differs from \(r\).
Different values of r correspond to different degrees of freedom of the
dynamical system, so we get the result that dynamical variables
referring to different degrees of freedom commute. This law, as we have
derived it from (9), is proved only for dynamical systems with
classical analogues, but we assume it to hold generally. In this way
we can make a start on the problem of finding quantum conditions
for dynamical systems for which canonical coordinates and momenta
do not exist, provided we can give a meaning to different degrees of
freedom, as we may be able to do with the help of physical insight.
式(9)から、異なる接尾辞を持つ2つの変数\(r\)と\(s\)は常に可換であることがわかる。したがって、\(q_r\)と\(p_s\)の任意の関数は、\(s\)が\(r\)と異なる場合、\(q_s\)と\(p_s\)の任意の関数と可換である。
異なるrの値は力学系の異なる自由度に対応するため、異なる自由度を参照する力学変数は可換であるという結果が得られる。(9)から導出したこの法則は、古典的な類似体を持つ力学系についてのみ証明されているが、一般に成立すると仮定する。このようにして、物理的洞察の助けを借りて異なる自由度に意味を与えることができれば、正準座標と運動量が存在しない力学系に対する量子条件を見つける問題に取り組むことができる。
We can now see the physical meaning of the division, which was
discussed in the preceding section, of the dynamical variables into
sets, any member of one set commuting with any member of another.
Each set corresponds to certain degrees of freedom, or possibly just
one degree of freedom. The division may correspond to the physical
process of resolving the dynamical system into its constituent parts,
each constituent being capable of existing by itself as a physical
system, and the various constituents having to be brought into
interaction with one another to produce the original system. Alterna-
tively the division may be merely a mathematical procedure of
resolving the dynamical system into degrees of freedom which cannot
be separated physically, e.g. the system consisting of a particle with
internal structure may be divided into the degrees of freedom deserib-
ing the motion of the centre of the particle and those describing the
internal structure.
前の節で論じた、力学変数を集合に分割し、ある集合の任意の要素が他の集合の任意の要素と可換となることの物理的な意味が、これで理解できる。各集合は特定の自由度、あるいはおそらくは1つの自由度に対応する。この分割は、力学系を構成要素に分解する物理的プロセスに対応するのかもしれない。この場合、各構成要素は単独で物理系として存在することができ、元の系を形成するためには、様々な構成要素が互いに相互作用する必要がある。あるいは、この分割は、力学系を物理的に分離できない自由度に分解する単なる数学的手順であるのかもしれない。例えば、内部構造を持つ粒子からなる系は、粒子中心の運動を表す自由度と内部構造を記述する自由度に分割される。
Let us consider a dynamical system with \(n\) degrees of freedom
having a classical analogue, and thus describable in terms of canonical
coordinates and momenta \(q_r,p_r (r = 1,2,...,n)\). We assume that the
coordinates \(q_r\) are all observables and have continuous ranges of egen-
values, these assumptions being reasonable from the physical signifi-
cance of the \(q\)'s. Let us set up a representation with the \(q\)'s diagonal.
The question arises whether the \(q\)'s form a complete commuting set
for this dynamical system. It seems pretty obvious from inspection
that they do. We shall here assume that they do, and the assumption
will be justified later (see top of p. 92). With the \(q\)'s forming a
complete commuting set, the representation is fixed except for the
arbitrary phase factors in it.
\(n\) 自由度の力学系を考えてみましょう。この力学系は古典的な類似系を持ち、したがって正準座標と運動量 \(q_r,p_r (r = 1,2,...,n)\) で記述可能です。座標 \(q_r\) はすべて観測可能で、自乗値の連続的な範囲を持つと仮定します。これらの仮定は、\(q\) の物理的な意味から妥当です。\(q\) の対角線を用いた表現を設定してみましょう。この力学系において、\(q\) が完全な可換集合を形成するかどうかという疑問が生じます。一見すると、そうであることは明らかです。ここではそうであると仮定しますが、この仮定は後で正当化されます (92ページ冒頭を参照)。 \(q\) が完全な可換集合を形成する場合、その表現は任意の位相因子を除いて固定されます。
Let us consider first the case of \(n = 1\), so that there is only one \(q\)
and \(p\), satisfying
まず \(n = 1\) の場合を考えてみましょう。この場合、\(q\) と \(p\) は 1 つしか存在せず、
\[
qp—pq = i\hbar \tag{10}
\]
Any ket may be written in the standard ket notation \(\psi(q)\rangle\). From it
we can form another ket \(d\psi/dq\rangle\), whose representative is the deriva-
tive of the original one. This new ket is a linear function of the
original one and is thus the result of some linear operator applied to
the original one. Calling this linear operator \(d/dq\), we have
任意のケットは標準的なケット記法\(\psi(q)\rangle\)で表記できる。そこから別のケット\(d\psi/dq\rangle\)を形成でき、その代表は元のケットの微分となる。この新しいケットは元のケットの線形関数であり、したがって、元のケットに何らかの線形演算子を適用した結果である。この線形演算子を\(d/dq\)と呼ぶと、
\[
\frac{d}{dq}\psi\rangle = \frac{d\psi}{dq}\rangle \tag{11}
\]
Equation (11) holding for all functions \(\psi\) defines the linear operator
\(d/dq\). We have
式(11)はすべての関数\(\psi\)に対して成り立ち、線形演算子\(d/dq\)を定義する。
\[
\frac{d}{dq}\rangle = 0 \tag{12}
\]
Let us treat the linear operator \(d/dq\) according to the general theory
of linear operators of §7. We should then be able to apply it to a bra
\(\langle\phi(q)\), the product \(\langle\phi d/dq\) being defined, according to (3) of §7, by
線型作用素 \(d/dq\) を §7 の線型作用素の一般理論に従って扱う。すると、それをブラ
\(\langle\phi(q)\) に適用できる。積 \(\langle\phi d/dq\) は、§7 の (3) に従って、次のように定義される。
\[
\left\{\langle\phi\frac{d}{dq}\right\}\psi\rangle = \langle\phi\left\{\frac{d}{dq}\psi\rangle\right\} \tag{13}
\]
for all functions \(\psi(q)\). Taking representatives, we get
すべての関数\(\psi(q)\)に対して、代表値をとると、
\[
\int \langle\phi\frac{d}{dq}|q^\prime\rangle dq^\prime\psi(q^\prime) = \int \phi(q^\prime)dq^\prime\frac{d\psi(q^\prime)}{dq^\prime} \tag{14}
\]
We can transform the right-hand side by partial integration and get
右辺を部分積分で変形すると、
\[
\int \langle\phi\frac{d}{dq}|q^\prime\rangle dq^\prime\psi(q^\prime) = - \int \frac{d\phi(q^\prime)}{dq^\prime}dq^\prime\psi(q^\prime) \tag{15}
\]
provided the contributions from the limits of integration vanish.
This gives
積分の極限からの寄与がゼロであると仮定する。
これは
\[
\langle\phi\frac{d}{dq}|q^\prime\rangle = -\frac{d\phi(q^\prime)}{dq^\prime}
\]
showing that
以下になる
\[
\langle\phi\frac{d}{dq} = -\langle\frac{d\phi}{d1} \tag{16}
\]
Thus \(d/dq\) operating to the left on the conjugate complex of a wave
function has the meaning of minus differentiation with respect to \(q\).
したがって、波動関数の共役複素数上で左に作用する \(d/dq\) は \(q\) に関してマイナス微分の意味を持ちます。
The validity of this result depends on our being able to make the
passage from (14) to (15), which requires that we must restrict our-
selves to bras and kets corresponding to wave functions that satisfy
suitable boundary conditions. The conditions usually holding in
practice are that they vanish at the boundaries. (Somewhat more
general conditions will be given in the next section.) These conditions
do not limit the physical applicability of the theory, but, on the con-
trary, are usually required also on physical grounds. For example,
if \(q\) is a Cartesian coordinate of a particle, its eigenvalues run from
\(-\infty\) to \(\infty\), and the physical requirement that the particle has zero
probability of being at infinity leads to the condition that the wave
function vanishes for \(q = \pm\infty\).
この結果の妥当性は、(14) から (15) へ移行できるかどうかに依存しており、そのためには、適切な境界条件を満たす波動関数に対応するブラ関数とケット関数に限定する必要があります。実際に通常成立する条件は、境界で波動関数が消滅することです。(より一般的な条件は次のセクションで示します。) これらの条件は理論の物理的な適用性を制限するものではなく、むしろ物理的な根拠からも通常は要求されます。例えば、粒子の直交座標を \(q\) とすると、その固有値は \(-\infty\) から \(\infty\) までの範囲をとり、粒子が無限遠に存在する確率がゼロであるという物理的要求から、波動関数が \(q = \pm\infty\) に対して消滅するという条件が導かれます。
The conjugate complex of the linear operator \(d/dq\) can be evaluated
by noting that the conjugate imaginary of \(d/dq\).\(\psi\rangle\) or \(d\psi/dq\rangle\) is
\(\langle d\overline{\psi}d/dq\), or \(-\langle\overline{\psi}d/dq\) from (16). Thus the conjugate complex of \(d/dq\) is \(—d/dq\), so \(d/dq\) is a pure imaginary linear operator.
線型演算子 \(d/dq\) の共役複素数は、\(d/dq\).\(\psi\rangle\) または \(d\psi/dq\rangle\) の共役虚数が (16) より \(\langle d\overline{\psi}d/dq\) または \(-\langle\overline{\psi}d/dq\) となることに着目することで評価できます。したがって、\(d/dq\) の共役複素数は \(—d/dq\) となり、\(d/dq\) は純虚線型演算子となります。
To get the representative of \(d/dq\) we note that, from an application
of formula (63) of §20,
\(d/dq\) の代表値を得るために、§20の式(63)を適用して、
\[
|q^{\prime\prime}\rangle = \delta(q - q^{\prime\prime})\rangle \tag{17}
\]
so that
よって
\[
\frac{d}{dq}|q^{\prime\prime}\rangle = \frac{d}{dq}\delta(q - q^{\prime\prime})\rangle \tag{18}
\]
and hence
そしてそれゆえ
\[
\langle q^\prime|\frac{d}{dq}|q^{\prime\prime}\rangle = \frac{d}{dq^\prime}\delta(q^\prime - q^{\prime\prime}) \tag{19}
\]
The representative of \(d/dq\) involves the derivative of the \(\delta\) function.
\(d/dq\) の代表には \(\delta\) 関数の微分が含まれます。
Let us work out the commutation relation connecting \(d/dq\) with \(q\).
We have
\(d/dq\) と \(q\) を結びつける交換関係を解いてみましょう。
\[
\frac{d}{d1}q\psi\rangle = \frac{dq\psi}{dq}\rangle = q\frac{d}{dq}\psi\rangle+\psi\rangle \tag{20}
\]
Since this holds for any ket \(\psi\rangle\), we have
これは任意のケット\(\psi\rangle\)に当てはまるので、
\[
\frac{d}{dq}q-q\frac{d}{dq}=1 \tag{21}
\]
Comparing this result with aoe we see that \(-i\hbar d/dq\) satisfies the
same commutation relation with \(q\) that \(p\) does.
この結果をaoeと比較すると、\(-i\hbar d/dq\)は\(p\)と同じように\(q\)との交換関係を満たすことがわかります。
To extend the foregoing work to the case of arbitrary \(n\), we write
the general ket as \(\psi(q1...q_n)\rangle=\psi\rangle\) and introduce the \(n\) linear opera-
tors \(\partial/\partial q_r (r = 1,...,n)\), which can operate on it in accordance with
the formula
これまでの研究を任意の \(n\) の場合に拡張するために、一般ケットを \(\psi(q1...q_n)\rangle=\psi\rangle\) と書き、\(n\) 個の線形演算子 \(\partial/\partial q_r (r = 1,...,n)\) を導入し、次の式に従って作用させる。
\[
\frac{\partial}{\partial q_r}\psi\rangle = \frac{\partial \psi}{\partial q_r}\rangle \tag{22}
\]
corresponding to (11). We have
(11)に対応する。
\[
\frac{\partial}{\partial q_r}\rangle = 0 \tag{23}
\]
corresponding to (12). Provided we restrict ourselves to bras and
kets corresponding to wave functions satisfying suitable boundary
conditions, these linear menos can operate also on bras, in accor-
dance with the formula
(12) に対応する。適切な境界条件を満たす波動関数に対応するブラとケットに限定すれば、これらの線型メノはブラにも作用し、次の式が成り立つ。
\[
\langle\phi\frac{\partial}{\partial q_r} = -\langle\frac{\partial \phi}{\partial q_r} \tag{24}
\]
corresponding to (16). Thus \(\partial/\partial q_r\) can operate to the left on the
conjugate complex of a wave function, when it has the meaning of
minus partial differentiation with respect to \(q_r\). We find as before
that each \(\partial/\partial q_r\) is a pure imaginary linear operator. Corresponding
to (21) we have the commutation relations
(16) に対応する。したがって、\(\partial/\partial q_r\) は、\(q_r\) に関する負の偏微分の意味を持つ場合、波動関数の共役複素数に対して左方向に作用することができる。前と同様に、各 \(\partial/\partial q_r\) は純虚線型作用素であることがわかる。(21) に対応する交換関係が成り立つ。
\[
\frac{\partial}{\partial q_r} q_s - q_s\frac{\partial}{\partial q_r} = \delta_{rs} \tag{25}
\]
We have further
さらに
\[
\frac{\partial}{\partial q_r} \frac{\partial}{\partial q_s}\psi\rangle = \frac{\partial^2\psi}{\partial q_r\partial q_s}\rangle = \frac{\partial}{\partial q_s}\frac{\partial}{\partial q_r}\psi\rangle \tag{26}
\]
showing that
以下になる
\[
\frac{\partial}{\partial q_r}\frac{\partial}{\partial q_s}=\frac{\partial}{\partial q_s}\frac{\partial}{\partial q_r} \tag{27}
\]
Comparing (25) and (27) with (9), we see that the linear operators
\(-\hbar\partial/\partial q_r\) satisfy the same commutation relations with the \(q\)'s and with
each other that the \(p\)'s do.
(25) と (27) を (9) と比較すると、線型作用素
\(-\hbar\partial/\partial q_r\) は、\(p\) と同様に、\(q\) と、また互いに同じ交換関係を満たすことがわかる。
It would be possible to take
以下を取ることも可能だろう
\[
p_r = —i\hbar\partial/\partial q_r \tag{28}
\]
without getting any inconsistency. This possibility enables us to see
that the \(q\)'s must form a complete commuting set of observables,
since it means that any function of the \(q\)'s and \(p\)'s could be taken
to be a function of the \(q\)'s and \(-i\hbar\partial/\partial q\)'s and then could not commute
with all the \(q\)'s unless it is a function of the \(q\)'s only.
矛盾が生じることなく。この可能性から、\(q\) は観測可能な量の完全な可換集合を形成しなければならないことがわかります。
なぜなら、\(q\) と \(p\) の任意の関数は、\(q\) と \(-i\hbar\partial/\partial q\) の関数と見なすことができ、\(q\) のみの関数でない限り、すべての \(q\) と可換になることはできないからです。
The equations (28) do not necessarily hold. But in any case the
quantities \(p_r+i\hbar\partial/\partial q_r\) each commute with all the \(q\)'s, so each of them
is a function of the \(q\)'s, from Theorem 2 of §19. Thus
(28)式は必ずしも成立するわけではない。しかしいずれにせよ、\(p_r+i\hbar\partial/\partial q_r\)の各量はすべての\(q\)と可換であり、したがって、§19の定理2より、それぞれは\(q\)の関数となる。したがって、
\[
p_r = -i\hbar \partial / \partial q_r + f_r(q) \tag{29}
\]
Since \(p_r\) and \(-i\hbar\partial/\partial q_r\) are both real, \(f_r(q)\) must be real. For any
function \(f\) of the \(q\)'s we have
\(p_r\) と \(-i\hbar\partial/\partial q_r\) はどちらも実数なので、\(f_r(q)\) も実数でなければならない。\(q\) の任意の関数 \(f\) に対して、
\[
\frac{\partial}{\partial q_r}f\psi\rangle = f\frac{\partial}{\partial q_r}\psi\rangle+\frac{\partial}{\partial q_r}\psi\rangle
\]
showing that
以下になる
\[
\frac{\partial}{\partial q_r}f-f\frac{\partial}{\partial q_r}=\frac{\partial f}{\partial q_r} \tag{30}
\]
With the help of (29) we can now deduce the general formula
(29) の助けを借りて、我々は一般式を導くことができる。
\[
p_rf-fp_r = -i\hbar\partial f/\partial q_r \tag{31}
\]
This formula may be written in P.B. notation
この式はP.B.記法で書くことができる。
\[
[f,p_r] = \partial f/\partial q_r \tag{32}
\]
when it is the same as in the classical theory, as follows from (1).
Multiplying (27) by \((-i\hbar)^2\) and substituting for \(-i\hbar\partial/\partial q_r\) and \(-i\hbar\partial/\partial q_s\) their values given by (29), we get
古典理論の場合と同じ場合、(1)から次の式が得られる。
(27)式に\((-i\hbar)^2\)を掛け、\(-i\hbar\partial/\partial q_r\)と\(-i\hbar\partial/\partial q_s\)に(29)式で与えられた値を代入すると、次式が得られる。
\[
(p_r-f_r)(p_s-f_s)=(p_s-f_s)(p_r-f_r)
\]
which reduces, with the help of the quantum condition \(p_rp_s = p_sp_r\), to
これは量子条件\(p_rp_s = p_sp_r\)の助けを借りて、次のように帰着する。
\[
p_rf_s+f_rp_s = p_sf_r+f_sp_r
\]
This reduces further, with the help of (31), to
これを（31）の助けを借りてさらに簡約すると、
\[
\partial f_s/\partial q_r = \partial f_r/\partial q_s \tag{33}
\]
showing that the functions \(f_r\) are all of the form
関数\(f_r\)はすべて次の形式であることを示す
\[
f_r = \partial F/\partial q_r \tag{34}
\]
with \(F\) independent of \(r\). Equation (29) now becomes
ここで、\(F\)は\(r\)に依存しない。式(29)は
\[
p_r = -i\hbar\partial/\partial q_r+\partial F/\partial q_r \tag{35}
\]
We have been working with a representation which is fixed to the
extent that the \(q\)'s must be diagonal in it, but which contains arbitrary
phase factors. If the phase factors are changed, the operators \(\partial/\partial q_r\)
get changed. It will now be shown that, by a suitable change in the
phase factors, the function \(F\) in (35) can be made to vanish, so that
equations (28) are made to hold.
これまで、\(q\) が対角行列となる程度には固定されているものの、任意の位相因子を含む表現を扱ってきました。位相因子が変更されると、演算子 \(\partial/\partial q_r\) も変更されます。ここで、位相因子を適切に変更することで、(35) の関数 \(F\) をゼロにすることができ、その結果、式 (28) が成立することを示します。
Using stars to distinguish quantities referring to the new repre-
sentation with the new phase factors, we shall have the new basic
bras connected with the previous ones by
新しい位相因子を用いた新しい表現を参照する量を区別するために星印を使用することで、新しい基本ブラを以前のものと次のように結び付けることができる。
\[
{\langle q_1^\prime...q_n^\prime}^*|=e^{i\gamma^\prime}\langle q_1^\prime...q_n^\prime| \tag{36}
\]
where \(\gamma^\prime = \gamma(q^\prime)\) is a real function of the \(q^\prime\)'s. The new representa-
tive of a ket is \(e^{i\gamma^\prime}\) times the old one, showing that \(e^{i\gamma}\psi\rangle^* = \psi\rangle\) so we get
ここで\(\gamma^\prime = \gamma(q^\prime)\)は\(q^\prime\)の実関数である。ケットの新しい代表値は\(e^{i\gamma^\prime}\)×古い値となり、\(e^{i\gamma}\psi\rangle^* = \psi\rangle\)となるので、
\[
\rangle^* = e^{-i\gamma}\rangle \tag{37}
\]
as the connexion between the new standard ket and the original one.
The new linear operator \((\partial/\partial q_r)^*\) satisfies, corresponding to (22),
新しい標準ケットと元のケットの間の接続として。
新しい線形演算子 \((\partial/\partial q_r)^*\) は、(22) に対応して、
\[
\left(\frac{\partial}{\partial q_r}\right)^*\psi\rangle^* =
\frac{\partial \psi}{\partial q_r}\rangle^* = e^{-i\gamma}\frac{\partial\psi}{\partial q_r}\rangle
\]
with the help of (37). Using (22), this gives
(37) の助けを借りて、(22) を用いると、
\[
\left(\frac{\partial}{\partial q_r}\right)^*\psi\rangle^* = e^{-i\gamma}\frac{\partial}{\partial q_r}\psi\rangle = e^{-i\gamma}\frac{\partial}{\partial q_r}e^{i\gamma}\psi\rangle^*
\]
showing that
以下になる
\[
\left(\frac{\partial}{\partial q_r}\right)^*=e^{-i\gamma}\frac{\partial}{\partial q_r}e^{i\gamma} \tag{38}
\]
or, with the help of (30),
あるいは、(30) の助けを借りて、
\[
\left(\frac{\partial}{\partial q_r}\right)^*=\frac{\partial}{\partial q_r}+i\frac{\partial\gamma}{\partial q_r} \tag{39}
\]
By choosing \(\gamma\) so that
\(\gamma\) を選択して
\[
F = \hbar\gamma+ a\; constant \tag{40}
\]
(35) becomes
(35) は 以下のようになる
\[
p_r = -i\hbar(\partial/\partial q_r)^* \tag{41}
\]
Equation (40) fixes \(\gamma\) except for an arbitrary constant, so the repre-
sentation is fixed except for an arbitrary constant phase factor.
式(40)は、任意の定数を除いて\(\gamma\)を固定しているので、任意の定数位相係数を除いて表現は固定されています。
In this way we see that a representation can be set up in which
the \(q\)'s are diagonal and equations (28) hold. This representation is
a very useful one for many problems. It will be called Schrödinger's
representation, as it was the representation in terms of which Schrödinger gave his original formulation of quantum mechanics in 1926.
Schrödinger's representation exists whenever one has canonical \(q\)'s
and \(p\)'s, and is completely determined by these \(q\)'s and \(p\)'s except for
an arbitrary constant phase factor. It owes its great convenience to
its allowing one to express immediately any algebraic function of the
\(q\)'s and \(p\)'s of the form of a power series in the \(p\)'s as an operator of
differentiation, e.g. if \(f(q_1,...,q_n,p_1,...p_n)\) is such a function, we have
このようにして、\(q\) が対角で式 (28) が成り立つような表現を設定できることがわかります。この表現は多くの問題で非常に有用です。1926 年にシュレーディンガーが量子力学の最初の定式化を与えた際に用いた表現であるため、シュレーディンガー表現と呼ばれます。
シュレーディンガー表現は、標準的な \(q\) と \(p\) がある場合に必ず存在し、任意の定数位相係数を除いて、これらの \(q\) と \(p\) によって完全に決定されます。この表現が非常に便利なのは、\(p\) のべき級数の形の \(q\) と \(p\) の任意の代数関数を、例えば \(p\) の微分演算子として直ちに表すことができるからです。もし\(f(q_1,...,q_n,p_1,...p_n)\)がそのような関数であるならば、
\[
f(q_1,...,q_n,p_1,...,p_n) = f(q_1,...,q_n,-i\hbar\partial/\partial q_1,...,-i\hbar\partial/\partial q_n) \tag{42}
\]
provided we preserve the order of the factors in a product on substi-
tuting the \(-i\hbar\partial/\partial q\)'s for the \(p\)'s.
ただし、\(p\) を \(-i\bar\partial/\partial q\) に置き換える際に、積の因数の順序を維持するものとします。
From (23) and (28), we have
(23) と (28) から、
\[
p_r\rangle = 0 \tag{43}
\]
Thus the standard ket in Schr&omul;dinger's representation is characterized
by the condition that it is a simultaneous eigenket of all the momenta
belonging to the eigenvalues zero. Some properties of the basic
vectors of Schrödinger's representation may also be noted. Equation
(22) gives
このように、シュレーディンガー表示における標準ケットは、固有値零に属するすべての運動量の同時固有ケットであるという条件によって特徴付けられる。シュレーディンガー表示の基本ベクトルのいくつかの性質についても言及しておく。式(22)は、
\[
\langle q_1^\prime...q_n^\prime|\frac{\partial}{\partial q_r}\psi\rangle =
\langle q_1^\prime...q_n^\prime|\frac{\partial\psi}{\partial q_r}=
\frac{\partial\psi(q_1^\prime...q_n^\prime)}{\partial q_r^\prime}=
\frac{\partial}{\partial q_r^\prime}\langle q_1^\prime...q_n^\prime|\psi\rangle
\]
Hence
したがって
\[
\langle q_1^\prime...q_n^\prime|\frac{\partial}{\partial q_r}=
\frac{\partial}{\partial q_r^\prime}\langle q_1^\prime...q_n^\prime| \tag{44}
\]
so that
よって
\[
\langle q_1^\prime...q_n^\prime|p_r = -i\hbar\frac{\partial}{\partial q_r^\prime}\langle q_1^\prime...q_n^\prime| \tag{45}
\]
Similarly, equation (24) leads to
同様に式(24)から次の式が得られる。
\[
p_r|q_1^\prime...q_n^\prime\rangle = i\hbar\frac{\partial}{\partial q_r^\prime}|q_1^\prime...q_n^\prime\rangle \tag{46}
\]
Let us take a system with one degree of freedom, describable in
terms of a \(q\) and \(p\) with the eigenvalues of \(q\) running from \(-\infty\) to \(\infty\),
and let us take an eigenket \(|p^\prime\rangle\) of \(p\). Its representative in the Schrödinger representation, \(\langle q^\prime|p^\prime\rangle\), satisfies
自由度1のシステムを、\(q\)と\(p\)で記述可能とし、\(q\)の固有値は\(-\infty\)から\(\infty\)までの範囲にあるとする。そして、\(p\)の固有角\(|p^\prime\rangle\)をとろう。そのシュレーディンガー表現における表現\(\langle q^\prime|p^\prime\rangle\)は、次式を満たす。
\[
p^\prime\langle q^\prime|p^\prime\rangle = \langle q^\prime|p|p^\prime\rangle =
-i\hbar\frac{d}{dq^\prime}\langle q^\prime|p^\prime\rangle
\]
with the help of (45) applied to the case of one degree of freedom.
The solution of this differential equation for \(\langle q^\prime|p^\prime\rangle\) is
(45) を自由度1の場合に適用すると、この微分方程式の \(\langle q^\prime|p^\prime\rangle\) に対する解は
\[
\langle q^\prime|p^\prime\rangle = c^\prime e^{ip^\prime q^\prime/\hbar} \tag{47}
\]
where \(c^\prime = c(p^\prime)\) is independent of \(q^\prime\), but may involve \(p^\prime\).
ここで、\(c^\prime = c(p^\prime)\) は \(q^\prime\) とは独立ですが、\(p^\prime\) が関与する可能性があります。
The representative \langle q^\prime|p^\prime\rangle\) does not satisfy the boundary conditions
of vanishing at \(q^\prime = \pm\infty\). This gives rise to some difficulty, which
shows itself up most directly in the failure of the orthogonality
theorem. If we take a second eigenket \(|p^{\prime\prime}\rangle\) of \(p\) with representative
代表\langle q^\prime|p^\prime\rangle\)は、\(q^\prime = \pm\infty\)で消滅するという境界条件を満たしません。これによりいくつかの困難が生じ、直交性定理の破綻として最も直接的に現れます。\(p\)の2番目の固有ケット\(|p^{\prime\prime}\rangle\)を代表\(q^\prime|p^\prime\rangle\)でとると、
\[
\langle q^\prime|p^{\prime\prime}\rangle = c^{\prime\prime}e^{ip^{\prime\prime}q^\prime/\hbar}
\]
belonging to a different eigenvalue \(p^{\prime\prime}\), we shall have
異なる固有値\(p^{\prime\prime}\)に属する場合、
\[
\langle p^\prime|p^{\prime\prime}\rangle =
\int_{-\infty}^\infty \langle p^\prime|q^\prime\rangle dq^\prime\langle q^\prime|p^{\prime\prime}\rangle=
\overline{c^\prime}c^{\prime\prime}\int_{-\infty}^\infty e^{-ip(p^\prime - p^{\prime\prime})q^\prime/\hbar} dq^\prime \tag{48}
\]
This integral does not converge according to the usual definition of
convergence. To bring the theory into order, we adopt a new defini-
tion of convergence of an integral whose domain extends to infinity,
analogous to the Cesaro definition of the sum of an infinite series.
With this new definition, an integral whose value to the upper limit
\(q^\prime\) is of the form \(\cos aq^\prime\) or \(\sin aq^\prime\), with a a real number not zero, is
counted as zero when \(q^\prime\) tends to infinity, i.e. we take the mean value
of the oscillations, and similarly for the lower limit of \(q^\prime\) tending to
minus infinity. This makes the right-hand side of (48) vanish for
\(p^{\prime\prime} \neq p^\prime\), so that the orthogonality theorem is restored. Also it makes
the right-hand sides of (13) and (14) equal when \(\langle\phi\) \(\psi\rangle\) are eigen-
vectors of \(p\), so that eigenvectors of \(p\) become permissible vectors to
use with the operator \(d/dq\). Thus the boundary conditions that the
representative of a permissible bra or ket has to satisfy become
extended to allow the representative to oscillate like \(\cos.aq^\prime\) or \(\sin.aq^\prime\)
as \(q^\prime\) goes to infinity or minus infinity.
この積分は、通常の収束の定義によれば収束しません。理論を整理するために、定義域が無限大に及ぶ積分の収束について、チェーザロの無限級数の和の定義に類似した新しい定義を採用します。この新しい定義によれば、上限\(q^\prime\) までの値が \(\cos aq^\prime\) または \(\sin aq^\prime\) の形をとり、かつ a がゼロでない実数である積分は、\(q^\prime\) が無限大に向かうとき、すなわち振動の平均値をとるとき、ゼロとみなされます。同様に、\(q^\prime\) がマイナス無限大に向かうときの下限についても、同様に扱われます。これにより、(48) の右辺は \(p^{\prime\prime} \neq p^\prime\) に対してゼロとなり、直交性定理が回復されます。また、\(\langle\phi\) \(\psi\rangle\) が \(p\) の固有ベクトルのとき、(13) と (14) の右辺が等しくなり、\(p\) の固有ベクトルは演算子 \(d/dq\) で使用できる許容ベクトルになります。したがって、許容ブラまたはケットの代表が満たさなければならない境界条件は、\(q^\prime\) が無限大または負の無限大になるにつれて、代表が \(\cos.aq^\prime\) または \(\sin.aq^\prime\) のように振動することを許容するように拡張されます。
For \(p^{\prime\prime}\) very close to \(p^\prime\), the right-hand side of (48) involves a \(\delta\)
function. To evaluate it, we need the formula
\(p^{\prime\prime}\) が \(p^\prime\) に非常に近い場合、(48) の右辺には \(\delta\) 関数が含まれる。これを評価するには、次の式が必要である。
\[
\int_{-\infty}^\infty e^{iax} dx = 2\pi\delta(a) \tag{49}
\]
for real \(a\), which may be proved as follows. The formula evidently
holds for \(a\) different from zero, as both sides are then zero. Further
we have, for any continuous function \(f(a)\),
実数 \(a\) に対して成り立つことは、以下のように証明できる。この式は明らかに \(a\) がゼロでない場合に成立する。なぜなら、その場合両辺はゼロだからである。さらに、任意の連続関数 \(f(a)\) に対して、
\[
\int_{-\infty}^\infty f(a) da \int_{-g}^g e^{iax} dx = \int_{-\infty}^\infty f(a)da 2a^{-1}\sin ag = 2\pi f(0)
\]
in the limit when \(g\) tends to infinity. A more complicated argument
shows that we get the same result if instead of the limits \(g\) and \(—g\)
we put \(g_1\) and \(—g_2\), and then let \(g_1\) and \(g_2\) tend to infinity in different
ways (not too widely different). This shows the equivalence of both
sides of (49) as factors in an integrand, which proves the formula.
\(g\) が無限大に向かう極限において、\(g\) と \(—g\) の極限の代わりに \(g_1\) と \(—g_2\) を置き、\(g_1\) と \(g_2\) が異なる方法で（あまり大きくは違わずに）無限大に向かうと仮定しても同じ結果が得られます。これは、(49) の両辺が被積分関数の因子として同値であることを示しており、公式の証明となります。
With the help of (49), (48) becomes
(49)の助けを借りれば、(48)は
\[
\begin{align}
\langle p^\prime|p^{\prime\prime}\rangle = \overline{c^\prime}c^{\prime\prime}2\pi\delta[(p^\prime - p^{\prime\prime})/\hbar]
&= \overline{c^\prime}c^{\prime\prime}h\delta(p^\prime - p^{\prime\prime}) \\
\\
&=|c^\prime|^2h\delta(p^\prime - p^{\prime\prime}) \tag{50}
\end{align}
\]
We have obtained an eigenket of \(p\) belonging to any real eigenvalue
\(p^\prime\), its representative being given by (47). Any ket \(|X\rangle\) can be ex-
panded in terms of these eigenkets of \(p\), since its representative
\(\langle q^\prime|X\rangle\) can be expanded in terms of the representatives (47) by
Fourier analysis. It follows that the momentum \(p\) is an observable,
in agreement with the experimental result that momenta can be
observed.
任意の実固有値\(p\)に属する固有ケット\(p^\prime\)が得られ、その代表は(47)で与えられる。任意のケット\(|X\rangle\)は、その代表である\(\langle q^\prime|X\rangle\)がフーリエ解析によって(47)の代表で展開できるため、\(p\)のこれらの固有ケットで展開できる。したがって、運動量\(p\)は観測可能であり、運動量が観測可能であるという実験結果と一致する。
A symmetry now appears between \(q\) and \(p\). Each of them is an
observable with eigenvalues extending from \(-\infty\) to \(\infty\), and the
commutation relation connecting \(q\) and \(p\), equation (10), remains
invariant if we interchange \(q\) and \(p\) and write \(—i\) for \(i\). We have set
up @ representation in which \(q\) is diagonal and \(p = —i\hbar d/dq\). It
follows from the symmetry that we can also set up a representation
in which \(p\) is diagonal and
ここで、\(q\) と \(p\) の間に対称性が現れる。これらはいずれも、\(-\infty\) から \(\infty\) まで広がる固有値を持つ観測量であり、\(q\) と \(p\) を結び付ける交換関係（式 (10)）は、\(q\) と \(p\) を入れ替えて \(i\) を \(—i\) と書いても不変である。\(q\) が対角で \(p = —i\hbar d/dq\) となる表現を設定した。この対称性から、\(p\) が対角で
\[
q = i\hbar d/dp \tag{51}
\]
the operator \(d/dp\) being defined by a procedure similar to that used
for \(d/dq\). This representation will be called the momentum representa-
tion. It is less useful than the previous Schrödinger representation
because, while the Schrödinger representation enables one to express
as an operator of differentiation any function of \(q\) and \(p\) that is a
power series in \(p\), the momentum representation enables one so to
express any function of \(q\) and \(p\) that is a power series in \(q\), and the
important quantities in dynamics are almost always power series in
\(p\) but are often not power series in \(q\). All the same the momentum
representation is of value for certain problems (see §50).
演算子 \(d/dp\) は、\(d/dq\) の場合と同様の手順で定義されます。この表現を運動量表現と呼びます。これは前述のシュレーディンガー表現ほど有用ではありません。なぜなら、シュレーディンガー表現では、\(p\) のべき級数である \(q\) と \(p\) の任意の関数を微分演算子として表すことができますが、運動量表現では、\(q\) と \(p\) の任意の関数を微分演算子として表すことができます。また、力学における重要な量は、ほとんどの場合 \(p\) のべき級数ですが、\(q\) のべき級数ではないことがよくあるからです。それでもなお、運動量表現は特定の問題では有用です (§50 を参照)。
Let us calculate the transformation function \(\langle q^\prime|p^\prime\rangle\) connecting the
two representations. The basic kets \(|p^\prime\rangle\) of the momentum representa-
tion are eigenkets of p and their Schrödinger representatives \(\langle q^\prime|p^\prime\rangle\)
are given by (47) with the coefficients c' suitably chosen. The phase
factors of these basic kets must be chosen so as to make (51) hold.
The easiest way to bring in this condition is to use the symmetry
between g and p referred to above, according to which \(\langle q^\prime|p^\prime\rangle\) must
go over into \(\langle p^\prime|q^\prime\rangle\) if we interchange q' and yp' and write —2 for 7.
Now \(\langle q^\prime|p^\prime\rangle\) is equal to the right-hand side of (47) and \(\langle p^\prime|q^\prime\rangle\) to the
conjugate complex expression, and hence \(c^\prime\) must be independent of
\(p^\prime\). Thus \(c^\prime\) is just a number \(c\). Further, we must have
2つの表現を結び付ける変換関数 \(\langle q^\prime|p^\prime\rangle\) を計算しよう。運動量表現の基本ケット \(|p^\prime\rangle\) は p の固有ケットであり、そのシュレーディンガー表現 \(\langle q^\prime|p^\prime\rangle\) は係数 c' を適切に選べば(47)式で与えられる。これらの基本ケットの位相因子は(51)式が成立するように選ばなければならない。この条件を導入する最も簡単な方法は、上で述べた g と p の対称性を利用することです。これによれば、q' と yp' を入れ替えて 7 を -2 と書くと、\(\langle q^\prime|p^\prime\rangle\) は \(\langle p^\prime|q^\prime\rangle\) に必ず変換されます。
ここで、\(\langle q^\prime|p^\prime\rangle\) は (47) の右辺に等しく、\(\langle p^\prime|q^\prime\rangle\) は共役複素数表現に等しくなります。したがって、\(c^\prime\) は \(p^\prime\) とは独立でなければなりません。したがって、\(c^\prime\) は単なる数 \(c\) です。さらに、
\[
\langle p^\prime|p^{\prime\prime}\rangle = \delta(p^\prime - p^{\prime\prime}")
\]
which shows, on comparison with (50), that \(|c| = \hbar-{-\frac{1}{2}}\). We can choose
the arbitrary constant phase factor in either representation so as to
make \(c = h-{-\frac{1}{2}}\), and we then get
これを(50)と比較すると、\(|c| = \hbar-{-\frac{1}{2}}\)であることがわかる。どちらの表現においても、\(c = h-{-\frac{1}{2}}\)となるように任意の定数位相係数を選ぶことができ、その場合、
\[
\langle q^\prime|p^\prime\rangle = h^{-\frac{1}{2}}e^{ip^\prime q^\prime/\hbar} \tag{52}
\]
for the transformation function.
変換関数用
The foregoing work may easily be generalized to a system with
\(n\) degrees of freedom, describable in terms of \(n\) \(q\)'s and \(p\)'s, with the
eigenvalues of each \(q\) running from \(-\infty\) to \(\infty\). Each \(p\) will then be
an observable with eigenvalues running from \(-\infty\) to \(\infty\), and there
will be symmetry between the set of \(q\)'s and the set of \(p\)'s, the
commutation relations remaining invariant if we interchange each \(q_r\)
with the corresponding \(p_r\) and write \(-i\) for \(i\). A momentum repre-
sentation can be set up in which the \(p\('s are diagonal and each
以上の研究は、\(n\) 個の \(q\) と \(p\) で記述可能な、\(n\) 個の自由度を持つシステムに容易に一般化できます。各 \(q\) の固有値は \(-\infty\) から \(\infty\) の範囲をとります。各 \(p\) は、\(-\infty\) から \(\infty\) の範囲の固有値を持つ観測量となり、\(q\) の集合と \(p\) の集合の間には対称性が生じます。各 \(q_r\) を対応する \(p_r\) と交換し、\(i\) を \(-i\) と書けば、交換関係は不変のままです。運動量表現は\(p\(が対角で、各
\[
q_r = i\hbar\partial/\partial p_r \tag{53}
\]
The transformation function connecting it with the Schrödinger
representation will be given by the product of the transformation
functions for each degree of freedom separately, as is shown by
formula (67) of §20, and will thus be
これをシュレーディンガー表現と結び付ける変換関数は、§20の式(67)に示されているように、各自由度に対する変換関数の積で与えられ、したがって、
\[
\begin{align}
\langle q_1^\prime q_2^\prime...q_n^\prime|p_1^\prime p_2^\prime ...p_n^\prime\rangle &=
\langle q_1^\prime|p_1^\prime\rangle\langle q_2^\prime|p_2^\prime\rangle ...\langle q_n^\prime|p_n^\prime\rangle \\
\\
&= h^{-n/2}e^{i(p_1^\prime q_1^\prime+p_2^\prime q_2^\prime+...+p_n^\prime q_n^\prime)/\hbar} \tag{54}
\end{align}
\]
For a system with one degree of freedom, the Schrödinger and the
momentum representatives of a ket \(|X\rangle\) are connected by
自由度が1の系の場合、シュレーディンガー方程式とケット\(|X\rangle\)の運動量表現は次のように結びついています。
\[
\left.
\begin{align}
\langle p^\prime|X\rangle &= h^{-\frac{1}{2}} \int_{-\infty}^\infty e^{-iq^\prime p^\prime/\hbar} dq^\prime\langle q^\prime|X\rangle \\
\\
\langle q^\prime|X\rangle &= h^{-\frac{1}{2}} \int_{-\infty}^\infty e^{iq^\prime p^\prime/\hbar} dq^\prime\langle p^\prime|X\rangle
\end{align}
\right\}
\tag{55}
\]
These formulas have an elementary significance. They show that
either of the representatives is given, apart from numerical coefficients,
by the amplitudes of the Fourier components of the other.
これらの式は基本的な意味を持ちます。これらの式は、どちらかの代表値が、数値係数とは別に、もう一方のフーリエ成分の振幅によって与えられることを示しています。
It is interesting to apply (55) to a ket whose Schrödinger repre- sentative consists of what is called a wave packet. This is a function whose value is very small everywhere outside a certain domain, of width \(\Delta q^\prime\) say, and inside this domain is approximately periodic with a definite frequency.† If a Fourier analysis is made of such a wave packet, the amplitude of all the Fourier components will be small, except those in the neighbourhood of the definite frequency. The components whose amplitudes are not small will fill up a frequency† band whose width is of the order \(1/\Delta q^\prime\), since two components whose frequencies differ by this amount, if in phase in the middle of the domain \(\Delta q^\prime\), will be just out of phase and interfering at the ends of this domain. Now in the first of equations (55) the variable \((2\pi)^{-1}p^\prime/\hbar=p^\prime/h\) plays the part of frequency. Thus with \(\langle q^\prime|X\rangle\) of the form of a wave packet, the function \(\langle p^\prime|X\rangle\), being composed of the amplitudes of the Fourier components of the wave packet, will be small everywhere in the \(p^\prime\)-space outside a certain domain of width \(\Delta p^\prime=h/\Delta q^\prime\).
† Frequency here means reciprocal of wave-length.
(55)式を、シュレーディンガー表現がいわゆる波束からなるケットに適用することは興味深い。これは、例えば幅\(\Delta q^\prime\)のある領域の外では値が極めて小さく、この領域内では一定の周波数で近似的に周期的な関数である。† このような波束のフーリエ解析を行うと、一定の周波数近傍の成分を除いて、すべてのフーリエ成分の振幅は小さくなる。振幅が小さくない成分は、幅が \(1/\Delta q^\prime\) のオーダーの周波数帯域を埋め尽くします。これは、周波数がこの量だけ異なる2つの成分が、領域の中央 \(\Delta q^\prime\) で同位相である場合、この領域の両端では位相がわずかにずれて干渉するためです。さて、式(55)の最初の式では、変数 \((2\pi)^{-1}p^\prime/\hbar=p^\prime/h\) が周波数の役割を果たしています。このように、波束の形の \(\langle q^\prime|X\rangle\) では、波束のフーリエ成分の振幅から構成される関数 \(\langle p^\prime|X\rangle\) は、特定の幅の領域 \(\Delta p^\prime=h/\Delta q^\prime\) の外側の \(p^\prime\) 空間のどこでも小さくなります。
† ここでの周波数は波長の逆数を意味します。
Let us now apply the physical interpretation of the square of the
modulus of the representative of a ket as a probability. We find that
our wave packet represents a state for which a measurement of \(q\) is
almost certain to lead to a result lying in a domain of width \(\Delta q^\prime\) and
a measurement of \(p\) is almost certain to lead to a result lying in a
domain of width \(\Delta p^\prime\). We may say that for this state \(q\) has a definite
value with an error of order \(\Delta q^\prime\) and \(p\) has a definite value with an
error of order \(\Delta p^\prime\). The product of these two errors is
ケットの代表値の係数の2乗を確率として物理的に解釈してみましょう。この波束は、\(q\) の測定がほぼ確実に幅 \(\Delta q^\prime\) の領域にある結果をもたらし、\(p\) の測定がほぼ確実に幅 \(\Delta p^\prime\) の領域にある結果をもたらす状態を表しています。この状態において、\(q\) は \(\Delta q^\prime\) のオーダーの誤差を持つ確定値を持ち、\(p\) は \(\Delta p^\prime\) のオーダーの誤差を持つ確定値を持つと言えます。これら2つの誤差の積は
\[
\Delta q^\prime\Delta p^\prime = h \tag{56}
\]
Thus the more accurately one of the variables \(q,p\) has a definite
value, the less accurately the other has a definite value. For a system
with several degrees of freedom, equation (56) applies to each degree
of freedom separately.
したがって、変数\(q,p\)の一方の値がより正確に確定値を持つほど、もう一方の値が確定値を持つ精度は低くなります。複数の自由度を持つシステムの場合、式(56)はそれぞれの自由度に個別に適用されます。
Equation (56) is known as Hetsenberg's Principle of Uncertainty.
It shows clearly the limitations in the possibility of simultaneously
assigning numerical values, for any particular state, to two non-
commuting observables, when those observables are a canonical co-
ordinate and momentum, and provides a plain illustration of how
observations in quantum mechanics may be incompatible. It also
shows how classical mechanics, which assumes that numerical values
can be assigned simultaneously to all observables, may be a valid
approximation when \(h\) can be considered as small enough to be
negligible. Hquation (56) holds only in the most favourable case,
which oceurs when the representative of the state is of the form of a
wave packet. Other forms of representative would lead to a \(\Delta q^\prime\) and
\(\Delta p^\prime\) whose product is larger than \(h\).
式(56)はヘッツェンベルクの不確定性原理として知られている。
この式は、正準座標と運動量という二つの非可換な観測量に対して、任意の特定の状態について同時に数値を割り当てることの可能性の限界を明確に示しており、量子力学における観測がいかに両立しないかを分かりやすく示している。また、すべての観測量に同時に数値を割り当てることができると仮定する古典力学が、\(h\)が無視できるほど小さいと考えられる場合には有効な近似となり得ることも示している。式(56)は、状態の代表が波束の形をとる最も有利な場合にのみ成立する。他の形式の代表値では、積が \(h\) よりも大きい \(\Delta q^\prime\) と
\(\Delta p^\prime\) になります。
Heisenberg's principle of uncertainty shows that, in the limit when
either \(q\) or \(p\) is completely determined, the other is completely
undetermined. This result can also be obtained directly from the
transformation function \(\langle q^\prime|p^\prime\rangle\). According to the end of §18,
\(|\langle q^\prime|p^\prime\rangle|^2dq^\prime\) is proportional to the probability of g having a value in
the small range from \(q^\prime\) to \(q^\prime+dq^\prime\) for the state for which \(p\) certainly
has the value \(p^\prime\), and from (52) this probability is independent of \(q^\prime\)
for a given \(dq^\prime\). Thus if \(p\) certainly has a definite value \(p^\prime\), all values
of \(q\) are equally probable. Similarly, if \(q\) certainly has a definite value
\(q^\prime\), all values of \(p\) are equally probable.
ハイゼンベルクの不確定性原理によれば、\(q\) または \(p\) のいずれか一方が完全に決定されている極限において、他方は完全に不確定である。この結果は、変換関数 \(\langle q^\prime|p^\prime\rangle\) からも直接得られる。§18の末尾によれば、\(|\langle q^\prime|p^\prime\rangle|^2dq^\prime\) は、\(p\) が確実に \(p^\prime\) の値をとる状態において、g が \(q^\prime\) から \(q^\prime+dq^\prime\) までの狭い範囲の値をとる確率に比例し、(52) から、この確率は与えられた \(dq^\prime\) に対して \(q^\prime\) とは独立である。したがって、\(p\) が確かに確定値 \(p^\prime\) を持つ場合、\(q\) のすべての値は等確率となります。同様に、\(q\) が確かに確定値 \(q^\prime\) を持つ場合、\(p\) のすべての値は等確率となります。
It is evident physically that a state for which all values of \(q\) are
equally probable, or one for which all values of \(p\) are equally probable,
cannot be attained in practice, in the first case because of limitations
of size and in the second because of limitations of energy. Thus an
eigenstate of \(p\) or an eigenstate of \(q\) cannot be attained in practice.
The argument at the end of §12 already showed that such eigenstates
are unattainable, because of the infinite precision that would be
needed to set them up, and we now have another argument leading
to the same conclusicn.
\(q\) のすべての値が等確率である状態、あるいは \(p\) のすべての値が等確率である状態は、実際には実現不可能であることは物理的に明らかである。前者の場合はサイズの制限のため、後者の場合はエネルギーの制限のためである。したがって、\(p\) の固有状態や \(q\) の固有状態は実際には実現できない。
§12 の末尾の議論で、そのような固有状態は、それを設定するには無限の精度が必要となるため、実現不可能であることがすでに示されている。そして今、同じ結論に至る別の議論を示す。
We get a new insight into the meaning of some of the quantum con-
ditions by making a study of displacement operators. These appear
in the theory when we take into consideration that the scheme of
relations between states and dynamical variables given in Chapter II
is essentially a physical scheme, so that if certain states and dynamical
variables are connected by some relation, on our displacing them all
in a definite way (for example, displacing them all through a distance
6x in the direction of the z-axis of Cartesian coordinates), the new
states and dynamical variables would have to be connected by the
same relation.
変位演算子の研究によって、いくつかの量子条件の意味について新たな知見が得られる。第2章で示した状態と力学変数の関係図式が本質的に物理的な図式であることを考慮すると、これらの関係は理論に現れる。つまり、ある状態と力学変数が何らかの関係で結びついている場合、それらをすべて特定の方法で（例えば、すべてを直交座標のZ軸方向に距離6xだけ）変位させると、新しい状態と力学変数も同じ関係で結びつくはずである。
The displacement of a state or observable is a perfectly definite
process physically. Thus to displace a state or observable through a
distance \(\delta x\) in the direction of the \(x\)-axis, we should merely have to
displace all the apparatus used in preparing the state, or all the
apparatus required to measure the observable, through the distance
\(\delta x\) in the direction of the \(x\)-axis, and the displaced apparatus would
define the displaced state or observable. The displacement of a
dynamical variable must be just as definite as the displacement of
an observable, because of the close mathematical connexion between
dynamical variables and observables. A displaced state or dynamical
variable is uniquely determined by the undisplaced state or dynami-
eal variable together with the direction and magnitude of the dis-
placement.
状態または観測量の変位は、物理的には完全に明確な過程である。したがって、状態または観測量を\(x\)軸方向に距離\(\delta x\)変位させるには、状態を準備するために用いられるすべての装置、あるいは観測量の測定に必要なすべての装置を\(x\)軸方向に距離\(\delta x\)変位させるだけでよく、変位させた装置が変位後の状態または観測量を定義する。力学変数と観測量の間には密接な数学的関係があるため、力学変数の変位は観測量の変位と同様に明確でなければならない。変位した状態または力学変数は、変位していない状態または力学変数と、変位の方向および大きさによって一意に決定される。
The displacement of a ket vector is not such a definite thing though.
If we take a certain ket vector, it will represent a certain state and we
may displace this state and get a perfectly definite new state, but this
new state will not determine our displaced ket, but only the direction
of our displaced ket. We help to fix our displaced ket by requiring
that it shall have the same length as the undisplaced ket, but even
then it is not completely determined, but can still be multiplied by
an arbitrary phase factor. One would think at first sight that each
ket one displaces would have a different arbitrary phase factor,
but with the help of the following argument, we see that it must be
the same for them all. We make use of the law that superposition
relationships between states remain invariant under the displace-
ment. A superposition relationship between states is expressed
mathematically by a linear equation between the kets corresponding
to those states, for example
しかし、ケットベクトルの変位はそれほど明確なものではありません。
あるケットベクトルをとると、それは特定の状態を表します。そして、この状態を変位させることで、完全に明確な新しい状態を得ることができます。しかし、この新しい状態は変位したケットを決定するのではなく、変位したケットの方向を決定するだけです。変位したケットの長さを、変位していないケットと同じ長さにすることで固定しますが、それでも完全には決定されず、任意の位相係数を掛けることができます。一見すると、変位するケットごとに異なる任意の位相係数を持つと思われますが、以下の議論の助けを借りれば、すべてのケットで同じであることがわかります。状態間の重ね合わせ関係は変位に対して不変であるという法則を利用します。状態間の重ね合わせ関係は、例えば、それらの状態に対応するケット間の線形方程式によって数学的に表現されます。
\[
|R\rangle = c_1|A\rangle + c_2|B\rangle \tag{57}
\]
where \(c_1\) and \(c_2\) are numbers, and the invariance of the superposition
relationship requires that the displaced states correspond to kets
with the same linear equation between them-—in our example they
would correspond to \(|Rd\rangle,|Ad\rangle,|Bd\rangle\) say, satisfying
ここで、\(c_1\) と \(c_2\) は数値であり、重ね合わせ関係の不変性は、変位した状態が、それらの間に同じ線形方程式を持つケットに対応することを必要とする。この例では、それらは、\(|Rd\rangle,|Ad\rangle,|Bd\rangle\) に対応し、次の式を満たす。
\[
|Rd\rangle = c_1|Ad\rangle + c_2|Bd\rangle \tag{58}
\]
We take these kets to be our displaced kets, rather than these kets
multiplied by arbitrary independent phase factors, which latter
kets would satisfy a linear equation with different coefficients \(c_1,c_2\).
The only arbitrariness now left in the displaced kets is that of a single
arbitrary phase factor to be multiplied into all of them.
これらのケットを、任意の独立した位相因子を乗じたケットではなく、変位ケットとみなします。後者のケットは、異なる係数 \(c_1,c_2\) を持つ線形方程式を満たします。
変位ケットに残された唯一の任意性は、それらすべてに単一の任意の位相因子を乗じることができるという任意性です。
The condition that linear equations between the kets remain in-
variant under the displacement and that an equation such as (58)
holds whenever the corresponding (57) holds, means that the displaced kets are linear functions of the undisplaced kets and thus each
displaced ket \(|Pd\rangle\) is the result of some linear operator applied to the
corresponding undisplaced ket \(|P\rangle\). In symbols,
ケット間の線型方程式が変位に対して不変であり、かつ対応する(57)が成立する場合には(58)のような方程式が成立するという条件は、変位したケットが変位していないケットの線型関数であり、したがって各変位したケット\(|Pd\rangle\)は対応する変位していないケット\(|P\rangle\)に何らかの線型演算子を適用した結果であることを意味する。記号で表すと、
\[
|Pd\rangle = D|P\rangle \tag{59}
\]
where \(D\) is a linear operator independent of \(|P\rangle\) and depending only
on the displacement. The arbitrary phase factor by which all the
displaced kets may be multiplied results in \(D\) being undetermined
to the extent of an arbitrary numerical factor of modulus unity.
ここで、\(D\) は \(|P\rangle\) とは独立で、変位のみに依存する線型演算子です。変位したすべてのケットに任意の位相係数を掛け合わせると、\(D\) は任意の数値係数（係数1）の範囲で不定になります。
With the displacement of kets made definite in the above manner
and the displacement of bras, of course, made equally definite,
through their being the conjugate imaginaries of the kets, we can
now assert that any symbolic equation between kets, bras, and
dynamical variables must remain invariant under the displacement
of every symbol occurring in it, on account of such an equation
having some physical significance which will not get changed by the
displacement.
上記のようにケットの変位が明確にされ、そしてもちろんブラの変位も、ケットの共役虚数であることによって同様に明確にされたので、ケット、ブラ、そして力学変数の間の任意の記号方程式は、その中に現れるすべての記号の変位に対して不変でなければならないと断言できる。なぜなら、そのような方程式は、変位によって変化しない何らかの物理的意味を持つからである。
Take as an example the equation
次の式を例に挙げましょう
\[
\langle Q|P\rangle = c
\]
\(c\) being a number. Then we must have
\(c\) は数である。すると、
\[
\langle Qs|Pd\rangle = c = \langle Q|P\rangle \tag{60}
\]
From the conjugate imaginary of (59) with \(Q\) instead of \(P\),
(59)式の共役虚数から\(P\)の代わりに\(Q\)を用いると、
\[
\langle Qd| = \langle Q|\overline{D} \tag{61}
\]
Hence (60) gives
したがって（60）は
\[
\langle Q|\overline{D}D|P\rangle = \langle Q|P\rangle
\]
Since this holds for arbitrary \(\langle Q|\) and \(|P\rangle\), we must have
これは任意の\(\langle Q|\)と\(|P\rangle\)に対して成り立つので、
\[
\overline{D}D = 1 \tag{62}
\]
giving us a general condition which \(D\) has to satisfy.
\(D\) が満たすべき一般的な条件を与えます。
Take as a second example the equation
2つ目の例として、次の式を挙げます。
\[
v|P\rangle = |R\rangle
\]
where \(v\) is any dynamical variable. Then, using \(v_d\) to denote the
displaced dynamical variable, we must have
ここで、\(v\)は任意の力学変数である。そして、\(v_d\)を変位された力学変数を表すために用いると、
\[
v_d|Pd\rangle = |Rd\rangle
\]
With the help of (59) we get
（59）の助けを借りて、
\[
v_d|Pd\rangle = D|R\rangle = Dv|P\rangle = DvD^{-1}|Pd\rangle
\]
Since \(|Pd\rangle\) can be any ket, we must have
\(|Pd\rangle\)は任意のケットなので、
\[
v_d = DvD^{-1} \tag{63}
\]
which shows that the linear operator \(D\) determines the displacement
of dynamical variables as well as that of kets and bras. Note that
the arbitrary numerical factor of modulus unity in \(D\) does not affect
\(v_d\), and also it does not affect the validity of (62).
これは、線型演算子 \(D\) が、ケットとブラの変位だけでなく、力学変数の変位も決定することを示しています。\(D\) における係数 1 という任意の数値因子は、\(v_d\) に影響を与えず、(62) の妥当性にも影響を与えないことに注意してください。
Let us now pass to an infinitesimal displacement, i.e. taking the
displacement through the distance \(\delta x\) in the direction of the \(x\)-axis,
let us make \(\delta x\rightarrow 0\). From physical continuity we should expect
a displaced ket \(|Pd\rangle\) to tend to the original \(|P\rangle\) and we may further
expect the limit
さて、微小変位、つまり\(x\)軸方向に距離\(\delta x\)だけ変位することを考えてみましょう。\(\delta x\rightarrow 0\)とします。物理的な連続性から、変位したケット\(|Pd\rangle\)は元の\(|P\rangle\)に近づくことが予想され、さらに次の極限が期待できます。
\[
\lim\limits_{\delta x\rightarrow 0} \frac{|Pd\rangle - |P\rangle}{\delta x} =
\lim\limits_{\delta x\rightarrow 0} \frac{D-1}{\delta x}|P\rangle
\]
to exist. This requires that the limit
存在するためには限界が
\[
\lim\limits_{\delta x\rightarrow 0} (D-1)/\delta x \tag{64}
\]
shall exist. This limit is a linear operator which we shall call the
displacement operator for the \(x\)-direction and denote by \(d_x\). The
arbitrary numerical factor \(e^{i\gamma}\) with \(\gamma\) real which we may multiply
into \(D\) must be made to tend to unity as \(\delta x\rightarrow 0\) and then introduces
an arbitrariness in \(d_x\), namely, \(d_x\) may be replaced by
が存在する。この極限は線型作用素であり、\(x\)方向の変位作用素と呼び、\(d_x\)と表記する。\(D\)に乗じることができる、\(\gamma\)実数の任意の数値因子\(e^{i\gamma}\)は、\(\delta x\rightarrow 0\)として1に近づくようにする必要があり、\(d_x\)に任意性をもたらす。つまり、\(d_x\)は次のように置き換えられる。
\[
\lim\limits_{\delta x\rightarrow 0} (De^{i\gamma}-1)/\delta x = \lim\limits_{\delta x\rightarrow 0} (D-1+i\gamma)/\delta x=d_x+ia_x
\]
where \(a_x\) is the limit of \(\gamma/\delta x\). Thus \(d_x\) contains an arbitrary additive
pure imaginary number.
ここで \(a_x\) は \(\gamma/\delta x\) の極限です。したがって \(d_x\) には任意の加法的な純虚数が含まれます。
\[
For\; \delta x\; small D = 1+\delta x d_x \tag{65}
\]
Substituting this into (62), we get
これを（62）に代入すると、
\[
(1+\delta x\overline{d}_x)(1+\delta xd_x) = 1
\]
which reduces, with neglect of \(\delta x^2\), to
これは\(\delta x^2\)を無視すると、
\[
\delta x(\overline{d}_x + d_x) = 0.
\]
Thus \(d_x\) is a pure imaginary linear operator. Substituting (65) into
(63) we get, with neglect of \(\delta x^2\) again,
したがって、\(d_x\)は純虚線型作用素である。(65)を(63)に代入すると、\(\delta x^2\)を無視すれば、次の式が得られる。
\[
v_d = (1+\delta x d_x)v(1—\delta x d_x) = v + \delta x(d_x v - v d_x) \tag{66}
\]
showing that
以下になる
\[
\lim\limits_{\delta x\rightarrow 0} (v_d - v)/\delta x = d_x v - v d_x \tag{67}
\]
We may describe any dynamical system in terms of the following
dynamical variables: the Cartesian coordinates \(x,y,z\) of the centre of
mass of the system, the components \(p_x,p_y,p_z\) of the total momentum
of the system, which are the canonical momenta conjugate to \(x,y,z\)
respectively, and any dynamical variables needed for describing
internal degrees of freedom of the system. If we suppose a piece
of apparatus which has been set up to measure \(x\), to be displaced a
distance \(\delta x\) in the direction of the \(x\)-axis, it will measure \(x-delta x\), hence
あらゆる力学系は、以下の力学変数を用いて記述することができます。系の質量中心の直交座標 \(x,y,z\)、系の全運動量の成分 \(p_x,p_y,p_z\)（それぞれ \(x,y,z\) に共役な標準運動量）、そして系の内部自由度を記述するために必要な力学変数です。\(x\) を測定するように設定された装置が、\(x\) 軸方向に距離 \(\delta x\) だけ変位すると、\(x-delta x\) を測定することになります。したがって、
\[
x_d = x - \delta x
\]
Comparing this with (66) for \(v = x\), we obtain
これを(66)の\(v = x\)と比較すると、
\[
d_x x - x d_x = —1 \tag{68}
\]
This is the quantum condition connecting \(d_x\) with \(x\). From similar
arguments we find that \(y,z,p_x,p_y,p_z\) and the internal dynamical vari-
ables, which are unaffected by the displacement, must commute with
\(d_x\). Comparing these results with (9), we see that \(i\hbar d_x\) satisfies just
the same quantum conditions as \(p_x\). Their difference, \(p_x-i\hbar d_x\),
commutes with all the dynamical variables and must therefore be a
number. This number, which is necessarily real since \(p_x\) and \(i\hbar d_x\), are
both real, may be made zero by a suitable choice of the arbitrary,
pure imaginary number that can be added to \(d_x\). We then have the
result
これは、\(d_x\) と \(x\) を結び付ける量子条件です。同様の議論から、\(y,z,p_x,p_y,p_z\) と、変位の影響を受けない内部の力学変数は、\(d_x\) と交換する必要があることがわかります。これらの結果を (9) と比較すると、\(i\hbar d_x\) は \(p_x\) と全く同じ量子条件を満たすことがわかります。それらの差 \(p_x-i\hbar d_x\) は、すべての力学変数と交換するため、必ず数になります。\(p_x\) と \(i\hbar d_x\) はどちらも実数であるため、この数は必然的に実数ですが、\(d_x\) に加えられる任意の純虚数を適切に選ぶことでゼロにすることができます。すると、次のようになります。
\[
p_x = i\hbar d_x \tag{69}
\]
or the x-component of the total momentum of the system is ih tomes the
displacement operator \(d_x\).
あるいは、系の全運動量のx成分は変位演算子\(dx\)のi倍である。
This is a fundamental result, which gives a new significance to
displacement operators. There is a corresponding result, of course,
also for the \(y\) and \(z\) displacement operators \(d_y\) and \(d_z\), The quantum
conditions which state that \(p_x, p_y\) and \(p_z\) commute with each other
are now seen to be connected with the fact that displacements in
different directions are commutable operations.
これは基本的な結果であり、変位演算子に新たな意味を与えます。もちろん、\(y\) および \(z\) 変位演算子 \(d_y\) および \(d_z\) についても同様の結果が得られます。\(p_x, p_y\) と \(p_z\) が互いに可換であるという量子条件は、異なる方向への変位が可換な演算であるという事実と関連していることが示されました。
Let \(U\) be any linear operator that has a reciprocal \(U^{\-1}\) and con-
sider the equation
\(U\) を任意の線型作用素でその逆数 \(U^{\-1}\) を持つものとし、次の式を考える。
\[
\alpha^* = U\alpha U^{-1} \tag{70}
\]
\(\alpha\) being an arbitrary linear operator. This equation may be regarded
as expressing a transformation from any linear operator \(\alpha\) to a
corresponding linear operator \(\alpha^*\), and as such it has rather remarkable
properties. In the first place it should be noted that each \(\alpha^*\) has the
same eigenvalues as the corresponding \(\alpha\); since, if \(\alpha^\prime\) is any eigenvalue
of \(\alpha\) and \(|\alpha^\prime\rangle\) is an eigenket belonging to it, we have
\(\alpha\) は任意の線型演算子である。この式は、任意の線型演算子 \(\alpha\) から対応する線型演算子 \(\alpha^*\) への変換を表すものとみなされ、それ自体が注目すべき性質を持つ。まず第一に、各 \(\alpha^*\) は対応する \(\alpha\) と同じ固有値を持つことに留意すべきである。\(\alpha^\prime\) が \(\alpha\) の任意の固有値であり、\(|\alpha^\prime\rangle\) がそれに属する固有ケットである場合、次式が成り立つ。
\[
\alpha|\alpha^\prime\rangle = \alpha^\prime|\alpha^\prime\rangle
\]
and hence
そしてそれゆえ
\[
\alpha^*U|\alpha^\prime\rangle = U\alpha U^{-1}|\alpha^\prime\rangle = U\alpha|\alpha^\prime\rangle = \alpha^\prime U|\alpha^\prime\rangle
\]
showing that \(U|\alpha^\prime\rangle\) is an eigenket of \(\alpha^*\) belonging to the same eigenvalue \(\alpha^\prime\), and similarly any eigenvalue of \(\alpha^*\) may be shown to be also
an eigenvalue of \(\alpha\). Further, if we take several \(\alpha\)'s that are connected
by algebraic equations and transform them all according to (70), the
corresponding \(\alpha^*\)'s will be connected by the same algebraic equations.
This result follows from the fact that the fundamental algebraic pro-
cesses of addition and multiplication are left invariant by the trans-
formation (70), as is shown. by the following equations:
\(U|\alpha^\prime\rangle\) は \(\alpha^*\) の固有ケットであり、同じ固有値 \(\alpha^\prime\) に属していることを示しており、同様に \(\alpha^*\) の任意の固有値は \(\alpha\) の固有値でもあることが示されています。さらに、代数方程式で結ばれた複数の \(\alpha\) を取り、それらすべてを (70) に従って変換すると、対応する \(\alpha^*\) は同じ代数方程式で結ばれます。
この結果は、加算と乗算という基本的な代数的処理が変換 (70) によって不変のままであるという事実から導かれ、次の式がそれを示しています。
\[
\begin{align}
(\alpha_1+\alpha_2)^* &= U(\alpha_1 + \alpha_2)U^{-1} = U\alpha_1U^{-1}+U\alpha_2U^{-1}=\alpha_1^* + \alpha_2^* \\
\\
(\alpha_1 \alpha_2)^* &= U\alpha_1 \alpha_2U^{-1} = U\alpha_1U^{-1}U\alpha_2U^{-1} = \alpha_1^* \alpha_2^*
\end{align}
\]
Let us now see what condition would be imposed on \(U\) by the
requirement that any real \(\alpha\) transforms into a real \(\alpha^*\). Equation
(70) may be written
ここで、任意の実数\(\alpha\)が実数\(\alpha^*\)に変換されるという要件によって\(U\)にどのような条件が課されるかを見てみましょう。式(70)は次のように書き表されます。
\[
\alpha^*U=U\alpha \tag{71}
\]
Taking the conjugate complex of both sides in accordance with
(5) of §8 we find, if \(\alpha\) and \(\alpha^*\) are both real,
§8の(5)に従って両辺の共役複素数をとると、\(\alpha\)と\(\alpha^*\)がともに実数であれば、
\[
\overline{U}\alpha^* = \alpha\overline{U} \tag{72}
\]
Equation (71) gives us
式(71)から
\[
\overline{U}\alpha^*U = \overline{U}U\alpha
\]
and equation (72) gives us
そして式(72)から
\[
\overline{U}\alpha^*U = \alpha\overline{U}U
\]
Hence
したがって
\[
\overline{U}U\alpha = \alpha\overline{U}U
\]
Thus \(\overline{U}U\) commutes with any real linear operator and therefore also
with any lmear operator whatever, since any linear operator can be
expressed as one real one plus \(i\) times another. Hence \(\overline{U}U\) is a
number. It is obviously real, its conjugate complex according to (5)
of §8 being the same as itself, and further it must be a positive
number, since for any ket \(|P\rangle, \langle P|\overline{U}U|P\rangle\) is positive as well as
\(\langle P|P\rangle\). We can suppose it to be unity without any loss of generality
in the transformation (70). We then have
したがって、\(\overline{U}U\) は任意の実線型作用素と可換であり、したがって任意の線形作用素とも可換である。なぜなら、任意の線型作用素は、実数 1 個と別の実数 \(i\) 倍として表せるからである。したがって、\(\overline{U}U\) は数である。これは明らかに実数であり、§8 の (5) による共役複素数はそれ自身と同じである。さらに、任意のケットに対して \(|P\rangle, \langle P|\overline{U}U|P\rangle\) は \(\langle P|P\rangle\) と同様に正であるため、正の数でなければならない。変換 (70) において、一般性を失うことなくこれを 1 と仮定することができる。すると、
\[
\overline{U}U = 1 \tag{73}
\]
Equation (73) is equivalent to any of the following
式(73)は次のいずれかと同等である。
\[
U = \overline{U}^{-1}, \overline{U} = U^{-1}, U^{-1}\overline{U}^{-1} = 1 \tag{74}
\]
A matrix or linear operator \(U\) that satisfies (73) and (74) is said
to be unitary and a transformation (70) with unitary \(U\) is called a
unitary transformation. A unitary transformation transforms real
linear operators into real linear operators and leaves invariant any
algebraic equation between linear operators. It may be considered
as applying also to kets and bras, in accordance with the equations
(73) および (74) を満たす行列または線型作用素 \(U\) はユニタリであるとされ、ユニタリ \(U\) を持つ変換 (70) はユニタリ変換と呼ばれる。ユニタリ変換は、実線型作用素を実線型作用素に変換し、線型作用素間の代数方程式を不変にする。これは、以下の式に従って、ケットおよびブラにも適用できると考えられる。
\[
|P^*\rangle = U|P\rangle, \langle P^*| = \langle P|\overline{U} = \langle P|U^{-1} \tag{75}
\]
and then it leaves invariant any algebraic equation between linear
operators, kets, and bras. It transforms eigenvectors of \(\alpha\) into eigen-
vectors of \(\alpha^*\). From this one can easily deduce that it transforms an
observable into an observable and that it leaves invariant any func-
tional relation between observables based on the general definition
of a function given in §11.
そして、線型作用素、ケット、ブラス関数間の代数方程式は不変のままである。\(\alpha\) の固有ベクトルを \(\alpha^*\) の固有ベクトルに変換する。このことから、観測可能なものを観測可能なものに変換すること、そして §11 で与えられた関数の一般定義に基づく観測可能なもの間の関数関係は不変のままであることが容易に分かる。
The inverse of a unitary transformation is also a unitary trans-
formation, since from (74), if \(U\) is unitary, \(U^{-1}\) is also unitary.
Further, if two unitary transformations are applied in succession,
the result is a third unitary transformation, as may be verified in
the following way. Let the two unitary transformations be (70) and
ユニタリ変換の逆変換もまたユニタリ変換である。なぜなら、(74) より、\(U\) がユニタリならば、\(U^{-1}\) もユニタリであるからである。
さらに、2 つのユニタリ変換を連続して適用すると、
結果は 3 番目のユニタリ変換となり、これは次のように検証できる。2 つのユニタリ変換を (70) とすると、
\[
\alpha^\dagger = V\alpha^*V^{-1}
\]
The connection between \(\alpha^\dagger\) and \(\alpha\) is then
\(\alpha^\dagger\)と\(\alpha\)の関係は
\[
\begin{align}
\alpha^\dagger &= VU\alpha U^{-1}V^{-1} \\
\\
&= (VU)\alpha(VU)-{-1} \tag{76}
\end{align}
\]
from (42) of §11. Now \(VU\) is unitary since
§11の(42)より。\(VU\)はユニタリである。なぜなら、
\[
\overline{VU}VU = \overline{U}\overline{V}VU = \overline{U}U = 1
\]
and hence (76) is a unitary transformation.
したがって(76)はユニタリ変換である。
The transformation given in the preceding section from undisplaced
to displaced quantities is an example of a unitary transformation, as
is shown by equations (62), (63), corresponding to equations (73),
(70), and equations (59), (61), corresponding to equations (75).
前の節で示した変位していない量から変位した量への変換はユニタリー変換の例であり、式(73)、(70)に対応する式(62)、(63)、および式(75)に対応する式(59)、(61)によって示されている。
In classical mechanics one can make a transformation from the
canonical coordinates and momenta \(q_r, p_r\;(r = ,...,n)\) to a new set of
variables \(q_r^*,p_r^*\;(r = 1,...,n)\) satisfying the same P.B. relations as the
\(q\)'s and \(p\)'s, i.e. equations (8) of §21 with \(q^*\)'s and \(p^*\)'s replacing the
\(q\)'s and \(p\)'s, and can express all dynamical variables in terms of the \(q^*\)'s
and \(p^*\)'s. The \(q^*\)'s and \(p^*\)'s are then also called canonical coordinates
and momenta and the transformation is called a contact transforma-
tion. One can easily verify that the P.B. of any two dynamical
variables \(u\) and \(v\) is correctly given by formula (1) of §21 with \(q^*\)'s and
\(p^*\)'s instead of \(q\)'s and \(p\)'s, so that the P.B. relationship is invariant
under a contact transformation. This results in the new canonical
coordinates and momenta being on the same footing as the original
ones for many purposes of general dynamical theory, even though the
new coordinates \(q_r^*\) may not be a set of Lagrangian coordinates but
may be functions of the Lagrangian coordinates and velocities.
古典力学では、正準座標と運動量 \(q_r, p_r\;(r = ,...,n)\) から、\(q\) と \(p\) と同じ P.B. 関係を満たす新しい変数の集合 \(q_r^*,p_r^*\;(r = 1,...,n)\) への変換を行うことができます。つまり、§21 の式 (8) で \(q\) と \(p\) を \(q^*\) と \(p^*\) に置き換え、すべての力学変数を \(q^*\) と \(p^*\) で表現することができます。 \(q^*\) と \(p^*\) は、正準座標と運動量とも呼ばれ、この変換は接触変換と呼ばれます。任意の2つの力学変数 \(u\) と \(v\) の P.B. は、\(q\) と \(p\) の代わりに \(q^*\) と \(p^*\) を用いた §21 の式 (1) によって正しく与えられ、P.B. 関係は接触変換に対して不変であることは容易に検証できます。この結果、新しい座標 \(q_r^*\) がラグランジュ座標の集合ではなく、ラグランジュ座標と速度の関数である場合でも、一般力学理論の多くの目的において、新しい正準座標と運動量は元のものと同じ立場になります。
It will now be shown that, for a quantum dynamical system that
has a classical analogue, unitary transformations in the quantum theory
are the analogue of contact transformations in the classical theory.
Unitary transformations are more general than contact transforma-
tions, since the former can be applied to systems in quantum
mechanics that have no classical analogue, but for those systems in
quantum mechanics which are describable in terms of canonical
coordinates and momenta, the analogy between the two kinds of
transformation holds. To establish it, we note that a unitary trans-
formation applied to the quantum variables \(q_r,p_r\) gives new variables .
\(q_r^*,p_r^*\) satisfying the same P.B. relations, since the P.B. relations are
equivalent to the algebraic relations (9) of §21 and algebraic relations
are left invariant by a unitary transformation. Conversely, any real
variables \(q_r^*, p_r^*\) satisfying the P.B. relations for canonical coordinates
and momenta are connected with the \(q_r,p_r\) by a unitary transforma-
tion, as is shown by the following argument.
古典力学系に類似する量子力学系に対して、量子論におけるユニタリー変換は古典力学における接触変換の類似であることが示される。ユニタリー変換は接触変換よりも一般性が高い。なぜなら、ユニタリー変換は古典力学系に類似する系がない量子力学系にも適用できるからである。しかし、量子力学系が正準座標と運動量で記述できる場合、これら2種類の変換の類似性は成立する。これを証明するために、量子変数 \(q_r,p_r\) にユニタリー変換を適用すると、同じ P.B. 関係を満たす新しい変数 . \(q_r^*,p_r^*\) が得られることを指摘する。なぜなら、P.B. 関係は §21 の代数関係 (9) と同値であり、代数関係はユニタリー変換によって不変となるからである。逆に、正準座標と運動量に関して P.B. 関係を満たす任意の実変数 \(q_r^*, p_r^*\) は、以下の議論で示されるように、ユニタリ変換によって \(q_r,p_r\) と結びついています。
We use the Schrödinger representation, and write the basic ket
\(|q_1^\prime...q_n^\prime\rangle\) as \(|q^\prime\rangle\) for brevity. Since we are assuming that the \(q_r^*, p_r^*\)
satisfy the P.B. relations for canonical coordinates and momenta,
we can set up a Schrödinger representation referring to them, with
the \(q_r^*\) diagonal and each \(p_r^*\) equal to \(—i\hbar\partial/\partial q_r^*\). The basic kets in
this second Schrödinger representation will be\(|q_1^{*\prime}...q_n^{*\prime\rangle\), which we
write \(|q^{*\prime}\rangle\) for brevity. Now introduce the linear operator \(U\) defined by
シュレーディンガー表現を用い、簡潔にするために基本ケット\(|q_1^\prime...q_n^\prime\rangle\)を\(|q^\prime\rangle\)と書きます。\(q_r^*, p_r^*\)が正準座標と運動量のP.B.関係を満たすと仮定しているので、それらを参照してシュレーディンガー表現を設定できます。\(q_r^*\)対角線と各\(p_r^*\)は\(—i\hbar\partial/\partial q_r^*\)に等しくなります。この第二シュレーディンガー表現における基本的なケットは\(|q_1^{*\prime}...q_n^{*\prime\rangle\)となり、簡潔にするために\(|q^{*\prime}\rangle\)と記す。ここで、次のように定義される線型演算子\(U\)を導入する。
\[
\langle q^{*\prime}|U|q^\prime\rangle = \delta(q^{*\prime} - q^\prime) \tag{77}
\]
where \(\delta(q^{*\prime} - q^\prime)\) is short for
ここで\(\delta(q^{*\prime} - q^\prime)\)は
\[
\delta(q^{*\prime} - q^\prime) = \delta(q_1^{*\prime} - q_1^\prime)\delta(q_2^{*\prime} - q_2^\prime)...\delta(q_n^{*\prime} - q_n^\prime) \tag{78}
\]
The conjugate complex of (77) is
(77) の共役複素数は
\[
\langle q^\prime|\overline{U}|q^{*\prime}\rangle = \delta(q^{*\prime} - q^\prime)
\]
and hence †
そしてそれゆえ†
† We use the notation of a single integral sign and \(dq^{*\prime}\) to denote an integral over all the variables \(q_1^{*\prime},q_2^{*\prime},...,q_n^{*\prime}\). This abbreviation will be used also in future work.
† 積分記号 1 つと \(dq^{*\prime}\) の表記を用いて、すべての変数 \(q_1^{*\prime},q_2^{*\prime},...,q_n^{*\prime}\) にわたる積分を表します。この略語は今後の研究でも使用されます。
\[
\begin{align}
\langle q^\prime|\overline{U}U|q^{\prime\prime}\rangle &= \int \langle q^\prime|\overline{U}q^{*\prime}\rangle dq^{*\prime}\langle q^{*\prime}|U|q^{\prime\prime}\rangle \\
\\
&=\int \delta(q^{*\prime} - q^\prime)dq^{*\prime}\delta(q^{*\prime} - q^\prime) \\
\\
&=\delta(q^\prime - q^{\prime\prime})
\end{align}
\]
so that
よって
\[
\overline{U}U = 1
\]
Thus \(U\) is a unitary operator. We have further
したがって\(U\)はユニタリ演算子である。さらに
\[
\langle q^{*\prime}|q_r^*U|q^\prime\rangle = q_r^{*\prime}\delta(q^{*\prime} - q^\prime)
\]
and
および
\[
\langle q^{*\prime}|Uq_r|q^\prime\rangle = \delta(q^{*\prime} - q^\prime)q_r^\prime
\]
The right-hand sides of these two equations are equal on account of
the property of the \(\delta\) function (11) of §15, and hence
これら2つの式の右辺は、§15の\(\delta\)関数(11)の性質により等しいので、
\[
q_r^*U = Uq_r
\]
or
または
\[
q_r^* = Uq_rU^{-1}
\]
Again, from (45) and (46),
また、(45) と(46) から、
\[
\begin{align}
\langle q^{*\prime}|p_r^*U|q^\prime\rangle &= -i\hbar\frac{\partial}{\partial q_r^{*\prime}}\delta(q^{*\prime} - q^\prime) \\
\\
\langle q^{*\prime}|Up_r|q^\prime\rangle &= -\hbar\frac{\partial}{\partial q_r^\prime}\delta(q^{*\prime} - q^\prime)
\end{align}
\]
The right-hand sides of these two equations are obviously equal, and
hence
これら2つの式の右辺は明らかに等しいので、
\[
p_r^*U = Up_r
\]
or
または
\[
p_r^* = Up_rU^{-1}
\]
Thus all the conditions for a unitary transformation are verified.
したがって、ユニタリ変換のすべての条件が検証されます。
We get an infinitesimal unitary transformation by taking \(U\) in (70)
to differ by an infinitesimal from unity. Put
(70) の \(U\) を 1 から無限小だけ異なるようにすることで、無限小ユニタリ変換が得られる。
\[
U = 1+i\epsilon F
\]
where \(\epsilon\) is infinitesimal, so that its square can be neglected. Then
ここで\(\epsilon\)は無限小なので、その平方は無視できる。すると
\[
U^{-1} = 1 - i\epsilon F
\]
The unitary condition (73) or (74) requires that \(F\) shall be real. The
transformation equation (70) now takes the form
ユニタリ条件(73)または(74)は\(F\)が実数であることを要求する。変換方程式(70)は次の形をとる。
\[
\alpha^* = (1+i\epsilon F)\alpha(1-i\epsilon F)
\]
which gives
これにより
\[
\alpha^* - \alpha = i\epsilon(F\alpha - \alpha F) \tag{79}
\]
It may be written in P.B. notation
P.B.記法で書かれることもある
\[
\alpha^* — \alpha = \epsilon\hbar[\alpha, F] \tag{80}
\]
If \(\alpha\) is a canonical coordinate or momentum, this is formally the same
as a Classical infinitesimal contact transformation.
\(\alpha\) が正準座標または運動量である場合、これは形式的には古典的な無限小接触変換と同じになります。