In the preceding chapters we set up an algebraic scheme involving
certain abstract quantities of three kinds, namely bra vectors, ket
vectors, and linear operators, and we expressed some of the funda-
mental laws of quantum mechanics in terms of them. It would be
possible to continue to develop the theory in terms of these abstract
quantities and to use them for applications to particular problems.
However, for some purposes it is more convenient to replace the
abstract quantities by sets of numbers with analogous mathematical
properties and to work in terms of these sets of numbers. The proce-
dure is similar to using coordinates in geometry, and has the advan-
tage of giving one greater mathematical power for the solving of
particular problems.
これまでの章では、ブラベクトル、ケットベクトル、線型作用素という3種類の抽象量を含む代数的枠組みを構築し、それらを用いて量子力学の基本法則のいくつかを表現した。これらの抽象量を用いて理論をさらに発展させ、特定の問題への応用に用いることも可能である。しかし、目的によっては、抽象量を類似の数学的性質を持つ数の集合に置き換え、それらの数の集合を用いて作業する方が便利な場合がある。この手順は幾何学における座標の使用に似ており、特定の問題を解くための数学的能力をより高めるという利点がある。
The way in which the abstract quantities are to be replaced by
numbers is not unique, there being many possible ways corresponding
to the many systems of coordinates one can have in geometry. Hach
of these ways is called a representation and the set of numbers that
replace an abstract quantity is called the representative of that
abstract quantity in the representation. Thus the representative of
an abstract quantity corresponds to the coordinates of a geometrical
object. When one has a particular problem to work out in quantum
mechanics, one can minimize the labour by using a representation
in which the representatives of the more important abstract quanti-
ties occurring in that problem are as simple as possible.
抽象量を数値に置き換える方法は一義的ではなく、幾何学で取り得る多くの座標系に対応する多くの方法が考えられます。これらの方法のそれぞれは表現と呼ばれ、抽象量を置き換える数値の集合は、その表現におけるその抽象量の代表値と呼ばれます。したがって、抽象量の代表値は、幾何学的オブジェクトの座標に対応します。量子力学において特定の問題を解く場合、その問題で発生するより重要な抽象量の代表値が可能な限り単純になる表現を用いることで、労力を最小限に抑えることができます。
To set up a representation in a general way, we take a complete
set of bra vectors, i.e. a set such that any bra can be expressed
linearly in terms of them (as a sum or an integral or possibly an
integral plus a sum). These bras we call the basic bras of the repre-
sentation. They are sufficient, as we shall see, to fix the representation
completely.
一般的な方法で表現を設定するために、ブラベクトルの完全な集合、すなわち、任意のブラベクトルがそれらを用いて線形に（和、積分、あるいは積分と和の組み合わせとして）表現できるような集合を取ります。これらのブラベクトルを、表現の基本ブラベクトルと呼びます。これらは、後述するように、表現を完全に固定するのに十分です。
Take any ket \(|a\rangle\) and form its scalar product with each of the basic
bras. The numbers so obtained constitute the representative of \(|a\rangle\).
They are sufficient to determine the ket \(|a\rangle\) completely, since if there
is a second ket, \(|a_1\rangle\) say, for which these numbers are the same, the
difference \(|a\rangle-|a_1\rangle\) will have its scalar product with any basic bra
vanishing, and hence its scalar product with any bra whatever will
vanish and \(|a\rangle-|a_1\rangle\) itself will vanish.
任意のケット \(|a\rangle\) を取り、各基本ブラとのスカラー積を求めます。こうして得られた数値は \(|a\rangle\) の代表値となります。
これらの数値はケット \(|a\rangle\) を完全に決定するのに十分です。なぜなら、もしこれらの数値が同じである別のケット \(|a_1\rangle\) があるとすると、差 \(|a\rangle-|a_1\rangle\) は任意の基本ブラとのスカラー積が消滅し、したがって任意のブラとのスカラー積も消滅し、\(|a\rangle-|a_1\rangle\) 自体も消滅するからです。
We may suppose the basic bras to be labelled by one or more
parameters, \(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_u,\) each of which may take on certain numerical
values. The basic bras will then be written \(\langle\lambda_1,\lambda_2...\lambda_u|\) and the repre-
sentative of \(|a\rangle\) will be written \(\langle\lambda_1\lambda_2...\lambda_u|a\rangle\). This representative will
now consist of a set of numbers, one for each set. of values that
\(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_u\) may have in their respective domains. Such a set of
numbers just forms a function of the variables \(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_u\). Thus the
representative of a ket may be looked upon either as a set of numbers
or as a function of the variables used to label the basic bras.
基本ブラは、それぞれが特定の数値を取る可能性のある1つ以上のパラメータ\(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_u,\)でラベル付けされていると仮定します。基本ブラは\(\langle\lambda_1,\lambda_2...\lambda_u|\)と表記され、\(|a\rangle\)の代表は\(\langle\lambda_1\lambda_2...\lambda_u|a\rangle\)と表記されます。この代表は、\(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_u\)がそれぞれの定義域で取り得る値の集合ごとに1つずつ、数値の集合から構成されます。このような数の集合は、変数 \(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_u\) の関数を形成するだけです。したがって、ケットの代表値は、数の集合として、または基本ブラにラベルを付けるために使用される変数の関数として見ることができます。
If the number of independent states of our dynamical system is
finite, equal to \(n\) say, it is sufficient to take n basic bras, which may
be labelled by a single parameter \(\lambda\) taking on the values \(1,2,3,...,n\).
The representative of any ket \(|a\rangle\) now consists of the set of \(n\) numbers
\(\langle 1|a\rangle,\langle 2|a\rangle,\langle 3|a\rangle,...,\langle n|a\rangle\), which are precisely the coordinates of
the vector \(|a\rangle\) referred to a system of coordinates in the usual way.
The idea of the representative of a ket vector is just a generalization
of the idea of the coordinates of an ordinary vector and reduces to
the latter when the number of dimensions of the space of the ket
vectors is finite.
もし我々の力学系の独立状態の数が有限、例えば \(n\) とすれば、n 個の基本ブラを取れば十分であり、それらは \(1,2,3,...,n\) という値をとる単一のパラメータ \(\lambda\) でラベル付けされる。
任意の ket ベクトルの代表値 \(|a\rangle\) は、\(n\) 個の数値の集合 \(\langle 1|a\rangle,\langle 2|a\rangle,\langle 3|a\rangle,...,\langle n|a\rangle\) から構成され、これらはまさに通常の方法で座標系に参照されるベクトル \(|a\rangle\) の座標である。
ket ベクトルの代表値という概念は、通常のベクトルの座標の概念を一般化したものであり、ket ベクトル空間の次元数が有限である場合に、後者の概念に帰着する。
In a general representation there is no need for the basic bras to
be all independent. In most representations used in practice, how-
ever, they are all independent, and also satisfy the more stringent
condition that any two of them are orthogonal. The representation
is then called an orthogonal representation.
一般的な表現では、基本ブラがすべて独立である必要はありません。しかし、実際に用いられるほとんどの表現では、基本ブラはすべて独立であり、さらに、それらの任意の2つが直交するというより厳しい条件も満たします。このような表現は直交表現と呼ばれます。
Take an orthogonal representation with basic bras \(\langle\lambda_1\lambda_2...\lambda_u|\), labelled by parameters \(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_u\) whose domains are all real. Take
a ket \(|a\rangle\) and form its representative \(\langle\lambda_1\lambda_2...\lambda_u|a\rangle\). Now form the
numbers \(\lambda_1\langle\lambda_1\lambda_2...\lambda_u|a\rangle\) and consider them as the representative of
a new ket \(|b\rangle\). This is permissible since the numbers forming the
representative of a ket are independent, on account of the basic bras
being independent. The ket \(|b\rangle\) is defined by the equation
パラメータ \(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_u\) でラベル付けされた基本ブラス \(\langle\lambda_1\lambda_2...\lambda_u|\) による直交表現を取り、その定義域はすべて実数です。ケット \(|a\rangle\) を取り、その代表値 \(\langle\lambda_1\lambda_2...\lambda_u|a\rangle\) を形成します。次に、数 \(\lambda_1\langle\lambda_1\lambda_2...\lambda_u|a\rangle\) を形成し、それらを新しいケット \(|b\rangle\) の代表値とみなします。これは、基本ブラスが独立しているため、ケットの代表値を形成する数が独立しているために許容されます。ケット\(|b\rangle\)は次の式で定義される。
\[
\langle\lambda_1\lambda_2...\lambda_u|b\rangle = \lambda_1\langle\lambda_1\lambda_2...\lambda_u|a\rangle
\]
The ket \(|b\rangle\) is evidently a linear function of the ket \(|a\rangle\), so it may
be considered as the result of a linear operator applied to \(|a\rangle\). Calling
this linear operator \(L_1\), we have
ケット\(|b\rangle\)は明らかにケット\(|a\rangle\)の線形関数なので、\(|a\rangle\)に線形作用素を適用した結果とみなすことができます。この線形作用素を\(L_1\)とすると、
\[
|b\rangle = L_1|a\rangle
\]
and hence
そしてそれゆえ
\[
\langle\lambda_1\lambda_2...\lambda_u|L_1|a\rangle = \lambda_1\langle\lambda_1\lambda_2...\lambda_u|a\rangle
\]
This equation holds for any ket \(|a\rangle\), so we get
この式は任意のケット\(|a\rangle\)に対して成り立つので、
\[
\langle\lambda_1\lambda_2...\lambda_u|L_1 = \lambda_1\langle\lambda_1\lambda_2...\lambda_u| \tag{1}
\]
Equation (1) may be looked upon as the definition of the linear
operator \(L_1\). It shows that each basic bra is an eigenbra of \(L_1\), the
value of the parameter \(\lambda_1\) being the eigenvalue belonging to it.
式(1)は線型作用素 \(L_1\) の定義と見なすことができます。これは、各基本ブラが \(L_1\) の固有ブラであり、パラメータ \(\lambda_1\) の値がそれに属する固有値であることを示しています。
From the condition that the basic bras are orthogonal we can
deduce that \(L_1\), is real and is an observable. Let \(\lambda_1^\prime,\lambda_2^\prime,...,\lambda_u^\prime\) and
\(\lambda_1^{\prime\prime},\lambda_2^{\prime\prime},...,\lambda_u^{\prime\prime}\) be two sets of values for the parameters \(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_u\). We have, putting \(\lambda^\prime\)'s for the \(\lambda^\prime\)'s in (1) and multiplying on the right
by \(|\lambda_1^{\prime\prime}\lambda_2^{\prime\prime}...\lambda_u^{\prime\prime}\rangle\), the conjugate imaginary of the basic bra \(\langle\lambda_1^{\prime\prime}\lambda_2^{\prime\prime}...\lambda_u^{\prime\prime}|\),
基本ブラが直交するという条件から、\(L_1\) は実数であり、オブザーバブルであることが分かります。\(\lambda_1^\prime,\lambda_2^\prime,...,\lambda_u^\prime\) と
\(\lambda_1^{\prime\prime},\lambda_2^{\prime\prime},...,\lambda_u^{\prime\prime}\) を、パラメータ \(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_u\) の2つの値集合とします。 (1) の \(\lambda^\prime\) に \(\lambda^\prime\) を代入し、右側に \(|\lambda_1^{\prime\prime}\lambda_2^{\prime\prime}...\lambda_u^{\prime\prime}\rangle\) を掛けると、基本ブラの共役虚数 \(\langle\lambda_1^{\prime\prime}\lambda_2^{\prime\prime}...\lambda_u^{\prime\prime}|\) が得られます。
\[
\langle\lambda_1^\prime\lambda_2^\prime...\lambda_u^\prime|L_1|\lambda_1^{\prime\prime}\lambda_2^{\prime\prime}...\lambda_u^{\prime\prime}\rangle = \lambda_1^\prime\langle\lambda_1^\prime\lambda_2^\prime...\lambda_u^\prime|\lambda_1^{\prime\prime}\lambda_2^{\prime\prime}...\lambda_u^{\prime\prime}\rangle
\]
Interchanging \(\lambda^\prime\)'s and \(\lambda^{\prime\prime}\)'s,
\(\lambda^\prime\)と\(\lambda^{\prime\prime}\)を入れ替えると、
\[
\langle\lambda_1^{\prime\prime}\lambda_2^{\prime\prime}...\lambda_u^{\prime\prime}|L_1|\lambda_1^\prime\lambda_2^\prime...\lambda_u^\prime\rangle = \lambda_1^{\prime\prime}\langle\lambda_1^{\prime\prime}\lambda_2^{\prime\prime}...\lambda_u^{\prime\prime}|\lambda_1^\prime\lambda_2^\prime...\lambda_u^\prime\rangle
\]
On account of the basic bras being orthogonal, the right-hand sides
here vanish unless \(\lambda_r^{\prime\prime} = \lambda_r^\prime\) for all \(r\) from 1 to \(u\), in which case the
right-hand sides are equal, and they are also real, \(\lambda_1^\prime\) being real. Thus,
whether the \(\lambda^{\prime\prime}\)'s are equal to the \(\lambda^\prime\)'s or not,
基本ブラは直交しているため、\(r\) が 1 から \(u\) までのすべての場合において \(\lambda_r^{\prime\prime} = \lambda_r^\prime\) が成立しない限り、右辺は消滅する。この場合、右辺は等しく、また実数でもある（\(\lambda_1^\prime\) は実数である）。したがって、\(\lambda^{\prime\prime}\) が \(\lambda^\prime\) と等しいかどうかは、
\[
\begin{align}
\langle\lambda_1^\prime\lambda_2^\prime...\lambda_i^\prime|L_1|\lambda_1^{\prime\prime}\lambda_2^{\prime\prime}...\lambda_u^{\prime\prime}\rangle &= \overline{\langle\lambda_1^{\prime\prime}\lambda_2^{\prime\prime}...\lambda_u^{\prime\prime}|L_1|\lambda_1^\prime\lambda_2^\prime...\lambda_u^\prime\rangle} \\
\\
&=\langle\lambda_1^\prime\lambda_2^\prime...\lambda_u^\prime|\overline{L}_1|\lambda_1^{\prime\prime}\lambda_2^{\prime\prime}...\lambda_u^{\prime\prime}\rangle
\end{align}
\]
from equation (4) of §8. Since the \(\langle\lambda_1^\prime\lambda_2^\prime...\lambda_u^\prime|\)'s form a complete set
of bras and the \(|\lambda_1^{\prime\prime}\lambda_2^{\prime\prime}...\lambda_u^{\prime\prime}|a\rangle\)'s form a complete set of kets, we can infer that \(L_1 = \overline{L}_1\). The further condition required for \(L_1\) to be an
observable, namely that its eigenstates shall form a complete set, is
obviously satisfied since it has as eigenbras the basic bras, which
form a complete set.
§8の式(4)より。\(\langle\lambda_1^\prime\lambda_2^\prime...\lambda_u^\prime|\)はブラ群の完全な集合を形成し、\(|\lambda_1^{\prime\prime}\lambda_2^{\prime\prime}...\lambda_u^{\prime\prime}|a\rangle\)はケットの完全な集合を形成するので、\(L_1 = \overline{L}_1\)と推論できる。\(L_1\)がオブザーバブルであるために必要なさらなる条件、すなわちその固有状態が完全な集合を形成することは、\(L_1\)が基本ブラ群を固有ブラ群として持ち、基本ブラ群が完全集合を形成するので、明らかに満たされている。
We can similarly introduce linear operators \(L_2,L_3,...,L_u\) by multi-
plying \(\langle\lambda_1\lambda_2...\lambda_u|a\rangle\) by the factors \(\lambda_2,\lambda_3,...,\lambda_u\) in turn and considering
the resulting sets of numbers as representatives of kets. Each of these
\(L\)'s can be shown in the same way to have the basic bras as eigenbras
and to be real and an observable. The basic bras are simultaneous
eigenbras of all the \(L\)'s. Since these simultaneous eigenbras form a
complete set, it follows from a theorem of §13 that any two of the
\(L\)'s commute.
同様に、\(\langle\lambda_1\lambda_2...\lambda_u|a\rangle\) に因子 \(\lambda_2,\lambda_3,...,\lambda_u\) を順に掛け合わせ、結果として得られる数の集合をケットの代表として考えることで、線型作用素 \(L_2,L_3,...,L_u\) を導入することができます。これらの各 \(L\) は、同様の方法で、基本ブラを固有ブラとして持ち、実数かつオブザーバブルであることが示されます。基本ブラは、すべての \(L\) の同時固有ブラです。これらの同時固有ブラは完全な集合を形成するため、§13 の定理から、任意の 2 つの \(L\) は可換であることが示されます。
It will now be shown that, if \(\xi_1,\xi_2,...,\xi_u\) are any set of commuting
observables, we can set up an orthogonal representation in which the basic
bras are simultaneous eigenbras of \(\xi_1,\xi_2,...,\xi_u\). Let us suppose first that
there is only one independent simultaneous eigenbra of \(\xi_1,\xi_2,...,\xi_u\)
belonging to any set of eigenvalues \(\xi_1^\prime,\xi_2^\prime,...,\xi_u^\prime\). Then we may take
these simultaneous eigenbras, with arbitrary numerical coefficients, as
our basic bras. They are all orthogonal on account of the orthogonality
theorem (any two of them will have at least one eigenvalue different,
which is sufficient to make them orthogonal) and there are sufficient
of them to form a complete set, from a result of §13. They may
conveniently be labelled by the eigenvalues \(\xi_1^\prime,\xi_2^\prime,...,\xi_u^\prime\) to which they
belong, so that one of them is written \(\langle\xi_1^\prime\xi_2^\prime...\xi_u^\prime|\).
ここで、\(\xi_1,\xi_2,...,\xi_u\) が任意の可換なオブザーバブルの集合であるとき、基本ブラが \(\xi_1,\xi_2,...,\xi_u\) の同時固有ブラとなる直交表現を設定できることを示します。まず、任意の固有値集合 \(\xi_1^\prime,\xi_2^\prime,...,\xi_u^\prime\) に属する \(\xi_1,\xi_2,...,\xi_u\) の独立な同時固有ブラが1つだけ存在すると仮定します。そして、任意の数値係数を持つこれらの同時固有ブラを基本ブラとして採用することができます。これらはすべて直交定理（いずれの2つも少なくとも1つの固有値が異なり、それによって直交となる）により直交しており、§13の結果から、完全な集合を形成するのに十分な数だけ存在する。これらは便宜上、属する固有値 \(\xi_1^\prime,\xi_2^\prime,...,\xi_u^\prime\) でラベル付けすることができ、そのうちの1つは \(\langle\xi_1^\prime\xi_2^\prime...\xi_u^\prime|\) と表記される。
Passing now to the general case when there are several independent
simultaneous eigenbras of \(\xi_1,\xi_2,...,\xi_u\) belonging to some sets of eigen-
values, we must pick out from all the simultaneous eigenbras belong-
ing to a set of eigenvalues \(\xi_1^\prime,\xi_2^\prime,...,\xi_u^\prime\) a complete subset, the members
of which are all orthogonal to one another. (The condition of com-
pleteness here means that any simultaneous eigenbra belonging to the eigenvalues \(\xi_1^\prime,\xi_2^\prime,...,\xi_u^\prime\) can be expressed linearly in terms of the members of the subset.) We must do this for each set of eigenvalues
\(\xi_1^\prime,\xi_2^\prime,...,\xi_u^\prime\) and then put all the members of all the subsets together
and take them as the basic bras of the representation. These bras
are all orthogonal, two of them being orthogonal from the orthogona-
lity theorem if they belong to different sets of eigenvalues and from
the special way in which they were chosen if they belong to the same
set of eigenvalues, and they form altogether a complete set of bras,
as any bra can be expressed linearly in terms of simultaneous eigen-
bras and' each simultaneous eigenbra can then be expressed linearly
in terms of the members of a subset. There are infinitely many ways
of choosing the subsets, and each way provides one orthogonal
representation.
さて、一般的なケースに移って、\(\xi_1,\xi_2,...,\xi_u\) のいくつかの独立な同時固有角部が、ある固有値の集合に属しているとき、\(\xi_1^\prime,\xi_2^\prime,...,\xi_u^\prime\) の固有値の集合に属するすべての同時固有角部から、そのメンバーがすべて互いに直交する完全な部分集合を選び出さなければなりません。 （ここでの完全性の条件とは、固有値 \(\xi_1^\prime,\xi_2^\prime,...,\xi_u^\prime\) に属する任意の同時固有ブラが、その部分集合の要素を用いて線形表現できることを意味します。）これを各固有値集合 \(\xi_1^\prime,\xi_2^\prime,...,\xi_u^\prime\) に対して行い、次にすべての部分集合のすべての要素をまとめて、それらを表現の基本ブラとして取ります。これらのブラはすべて直交しており、そのうち2つは、異なる固有値の集合に属する場合は直交定理から、同じ固有値の集合に属する場合は特別な選択方法から、それぞれ直交しています。そして、それらは全体としてブラの完全な集合を形成します。なぜなら、任意のブラは同時固有ブラで線形表現でき、各同時固有ブラは部分集合の要素で線形表現できるからです。部分集合の選択方法は無限にあり、それぞれの方法は1つの直交表現を提供します。
For labelling the basic bras in this general case, we may use the
eigenvalues \(\xi_1^\prime,\xi_2^\prime,...,\xi_u^\prime\) to which they belong, together with certain
additional real variables \(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_v\) say, which must be introduced to
distinguish basic vectors belonging to the same set of eigenvalues
from one another. A basic bra is then written \(\langle\xi_1^\prime\xi_2^\prime...\xi_u^\prime\lambda_1\lambda_2...\lambda_v|\).
Corresponding to the variables \(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_v\) we can define linear
operators \(L_1,L_2,...,L_v\) by equations like (1) and can show that these
linear operators have the basic bras as eigenbras, and that they are
real and observables, and that they commute with one another and
with the \(\xi\)'s. The basic bras are now simultaneous eigenbras of all
the commuting observables \(\xi_1,\xi_2,...,\xi_u,L_1,L_2,...,L_v\).
この一般的なケースにおいて、基本ブラ群にラベルを付けるには、それらが属する固有値 \(\xi_1^\prime,\xi_2^\prime,...,\xi_u^\prime\) と、同じ固有値集合に属する基本ベクトルを区別するために導入する必要がある追加の実変数 \(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_v\) を用いることができる。基本ブラ群は \(\langle\xi_1^\prime\xi_2^\prime...\xi_u^\prime\lambda_1\lambda_2...\lambda_v|\) と表記される。変数 \(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_v\) に対応して、(1) のような式によって線型作用素 \(L_1,L_2,...,L_v\) を定義することができ、これらの線型作用素は基本ブラを固有ブラとして持ち、それらは実数かつオブザーバブルであり、互いに可換であり、\(\xi\) とも可換であることを示すことができる。基本ブラは、可換なすべてのオブザーバブル \(\xi_1,\xi_2,...,\xi_u,L_1,L_2,...,L_v\) の同時固有ブラとなる。
Let us define a complete set of commuting observables to be a set of
observables which all commute with one another and for which there
is only one simultaneous eigenstate belonging to any set of eigen-
values. Then the observables \(\xi_1,\xi_2,...,\xi_u,L_1,L_2,...,L_v\) form a complete
set of commuting observables, there being only one independent simul-
taneous eigenbra belonging to the eigenvalues \(\xi_1^\prime,\xi_2^\prime,...,\xi_u^\prime,\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_v\), namely the corresponding basic bra. Similarly the observables
\(L_1,L_2,...,L_u\) defined by equation (1) and the following work form
a complete set of commuting observables. With the help of this
definition the main results of the present section can be concisely
formulated thus:
可換オブザーバブルの完全集合とは、互いに可換であり、かつ任意の固有値集合に属する同時固有状態が1つだけ存在するオブザーバブルの集合であると定義する。すると、オブザーバブル \(\xi_1,\xi_2,...,\xi_u,L_1,L_2,...,L_v\) は可換オブザーバブルの完全集合を形成し、固有値 \(\xi_1^\prime,\xi_2^\prime,...,\xi_u^\prime,\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_v\) に属する独立な同時固有ブラ、すなわち対応する基本ブラが1つだけ存在する。同様に、式(1)と以下の式で定義されるオブザーバブル\(L_1,L_2,...,L_u\)は、可換オブザーバブルの完全な集合を形成する。この定義を用いて、本節の主な結果は簡潔に次のように定式化できる。
(i) The basic bras of an orthogonal representation are simul-
taneous eigenbras of a complete set of commuting observ-
ables.
(i) 直交表現の基本ブラは、可換なオブザーバブルの完全な集合の同時固有基底である。
(ii) Given a complete set of commuting observables, we can set
up an orthogonal representation in which the basic bras are
simultaneous eigenbras of this complete set.
(ii) 可換なオブザーバブルの完全な集合が与えられたとき、基本ブラがこの完全な集合の同時固有ブラとなるような直交表現を設定できる。
(iii) Any set of commuting observables can be made into a com-
plete commuting set by adding certain observables to it.
(iii) 任意の可換オブザーバブルの集合は、特定のオブザーバブルを加えることによって完全な可換集合にすることができる。
(iv) A convenient way of labelling the basic bras of an orthogonal
representation is by means of the eigenvalues of the complete
set of commuting observables of which the basic bras are
simultaneous eigenbras.
(iv) 直交表現の基本ブラをラベル付けする便利な方法は、基本ブラが同時固有ブラである可換オブザーバブルの完全な集合の固有値を用いることである。
The conjugate imaginaries of the basic bras of a representation we
call the basic kets of the representation. Thus, if the basic bras are
denoted by \(\langle\lambda_1\lambda_2...\lambda_u|\), the basic kets will be denoted by \(|\lambda_1\lambda_2...\lambda_u\rangle\).
The representative of a bra \(\langle b|\) is given by its scalar product with
each of the basic kets, i.e. by \(\langle b|\lambda_1\lambda_2...\lambda_u\rangle\). It may, like the repre-
sentative of a ket, be looked upon either as a set of numbers or as a
function of the variables \(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_u\). We have
表現の基本ブラの共役虚数を、表現の基本ケットと呼びます。つまり、基本ブラが \(\langle\lambda_1\lambda_2...\lambda_u|\) で表される場合、基本ケットは \(|\lambda_1\lambda_2...\lambda_u\rangle\) と表されます。
ブラの代表 \(\langle b|\) は、各基本ケットとのスカラー積、つまり \(\langle b|\lambda_1\lambda_2...\lambda_u\rangle\) で与えられます。これは、ケットの代表と同様に、数の集合として、または変数 \(\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_u\) の関数として見ることができます。
\[
\langle b|\lambda_1\lambda_2...\lambda_u\rangle = \overline{\langle\lambda_1\lambda_2...\lambda_u|b\rangle}
\]
showing that the representative of a bra is the conjugate complex of the
representative of the conjugate imaginary ket. In an orthogonal repre-
sentation, where the basic bras are simultaneous eigenbras of a com-
plete set of commuting observables, \(\xi_1,\xi_2,...,\xi_u\) say, the basic kets
will be simultaneous eigenkets of \(\xi_1,\xi_2,...,\xi_u\).
ブラの代表は、共役虚数ケットの代表の共役複体であることを示しています。直交表現において、基本ブラが可換オブザーバブルの完全な集合、例えば\(\xi_1,\xi_2,...,\xi_u\)の同時固有ブラである場合、基本ケットは\(\xi_1,\xi_2,...,\xi_u\)の同時固有ケットになります。
We have not yet considered the lengths of the basic vectors. With
an orthogonal representation, the natural thing to do is to normalize
the basic vectors, rather than leave their lengths arbitrary, and so
introduce a further stage of simplification into the representation.
However, it is possible to normalize them only if the parameters
which label them all take on discrete values. If any of these para-
meters are continuous variables that can take on all values in a range,
the basic vectors are eigenvectors of some observable belonging to
eigenvalues in a range and are of infinite length, from the discussion
in §10 (see p.39 and top of p.40). Some-other procedure is then
needed to fix the numerical factors by which the basic vectors may
be multiplied. To get a convenient method of handling this question
anew mathematical notation is required, which will be given in the
next section.
基本ベクトルの長さについてはまだ考慮していません。直交表現の場合、自然な方法は、基本ベクトルの長さを任意にしておくのではなく、正規化することです。こうすることで、表現にさらなる簡略化の段階を導入することになります。しかし、それらを正規化できるのは、それらすべてをラベル付けするパラメータが離散値を取る場合のみです。これらのパラメータのいずれかが、ある範囲内のすべての値をとることができる連続変数である場合、基本ベクトルは、ある範囲の固有値に属するオブザーバブルの固有ベクトルであり、§10での議論（39ページと40ページ冒頭を参照）から、無限長になります。その場合、基本ベクトルに乗じる数値係数を決定するための別の手順が必要になります。この問題を簡便に扱うには、新たな数学的表記法が必要であり、それは次のセクションで示されます。
Our work in §10 led us to consider quantities involving a certain
kind of infinity. To get a precise notation for dealing with these
infinities, we introduce a quantity \(\delta(x)\) depending on a parameter \(x\)
satisfying the conditions
§10での研究により、ある種の無限大を含む量について考察することになった。これらの無限大を扱うための正確な表記法を得るために、以下の条件を満たすパラメータ\(x\)に依存する量\(\delta(x)\)を導入する。
\[
\left.
\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty \delta(x)\;dx &= 1 \\
\\
\delta(x) &= 0\;for\; x \neq 0
\end{align}
\right\}
\tag{2}
\]
To get a picture of \(\delta(x)\), take a function of the real variable \(x\) which
vanishes everywhere except inside a small domain, of length \(\epsilon\) say,
surrounding the origin \(x = 0\), and which is so large inside this domain
. that its integral over this domain is unity. The exact shape of the
function inside this domain does not matter, provided there are no
unnecessarily wild variations (for example provided the function
is always of order \(\epsilon^{-1}\)). Then in the limit \(\epsilon \rightarrow 0\) this function will go
over into \(\delta(x)\).
\(\delta(x)\) の図式を掴むには、実変数 \(x\) の関数を取り上げます。この関数は、例えば長さ \(\epsilon\) の、原点 \(x = 0\) を囲む小さな領域以外では零であり、この領域内では非常に大きいため、この領域での積分は 1 となります。この領域内での関数の正確な形状は、不必要に大きな変化がない限り（例えば、関数が常に \(\epsilon^{-1}\) の位数である場合）、重要ではありません。そうすると、極限 \(\epsilon \rightarrow 0\) において、この関数は \(\delta(x)\) になります。
\(\delta(x)\) is not a function of \(x\) according to the usual mathematical
definition of a function, which requires a function to have a definite
value for each point in its domain, but is something more general,
which we may call an ‘improper function' to show up its difference
from a function defined by the usual definition. Thus \(\delta(x)\) is not a
quantity which can be generally used in mathematical analysis like
an ordinary function, but its use must be confined to certain simple
types of expression for which it is obvious that no inconsistency
can arise.
\(\delta(x)\) は、関数がその定義域内の各点に対して明確な値を持つことを要求する通常の数学的定義によれば、\(x\) の関数ではありません。これはより一般的なものであり、通常の定義によって定義された関数との違いを示すために「不適正関数」と呼ぶことができます。したがって、\(\delta(x)\) は、通常の関数のように数学的解析で一般的に使用できる量ではなく、矛盾が生じないことが明らかな特定の単純なタイプの表現に限定して使用する必要があります。
The most important property of \(\delta(x)\) is exemplified by the follow-
ing equation,
\(\delta(x)\) の最も重要な性質は次の式で例示される。
\[
\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x) dx=f(0) \tag{3}
\]
where \(f(x)\) is any continuous function of \(x\). We can easily see the
validity of this equation from the above picture of \(\delta(x)\). The left-
hand side of (3) can depend only on the values of \(f(x)\) very close
to the origin, so that we may replace \(f(x)\) by its value at the origin,
\(f(0)\), without essential error. Equation (3) then follows from the
first of equations (2). By making a change of origin in (3), we can
deduce the formula
ここで、\(f(x)\) は \(x\) の任意の連続関数である。この式の妥当性は、上に示した \(\delta(x)\) の図から容易に確認できる。(3) の左辺は、\(f(x)\) の原点に非常に近い値にのみ依存するため、\(f(x)\) を原点におけるその値 \(f(0)\) に置き換えても本質的な誤りはない。したがって、式 (3) は式 (2) の最初の式から導かれる。(3) において原点を置き換えることで、次の式が導かれる。
\[
\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-a)dx=f(a) \tag{4}
\]
where \(a\) is any real number. Thus the process of multiplying a function
of \(x\) by \(\delta(x-a)\) and integrating over all \(x\) is equivalent to the process of
substituting \(a\) for \(x\). This general result holds also if the function of \(x\) is
not a numerical one, but is a vector or linear operator depending on \(x\).
ここで、\(a\) は任意の実数です。したがって、\(x\) の関数に \(\delta(x-a)\) を掛けて \(x\) 全体にわたって積分する処理は、\(x\) を \(a\) に置き換える処理と等価です。この一般的な結果は、\(x\) の関数が数値関数ではなく、\(x\) に依存するベクトルまたは線形関数である場合にも当てはまります。
The range of integration in (3) and (4) need not be from \(-\infty\) to \(\infty\),
but may be over any domain surrounding the critical point at which
the \(\delta\) function does not vanish. In future the limits of integration
will usually be omitted in such equations, it being understood that
the domain of integration is a suitable one.
(3) および (4) における積分範囲は、\(-\infty\) から \(\infty\) までである必要はなく、\(\delta\) 関数がゼロにならない臨界点を囲む任意の領域でよい。将来的には、積分領域が適切な範囲であると理解されることから、このような式では積分の極限は通常省略される。
Equations (3) and (4) show that, although an improper function
does not itself have a well-defined value, when it occurs as a factor
in an integrand the integral has a well-defined value. In quantum
theory, whenever an improper function appears, it will be something
which is to be used ultimately in an integrand. Therefore it should be
possible to rewrite the theory in a form in which the improper func-
tions appear all through only in integrands. One could then eliminate
the improper functions altogether. The use of improper functions
thus does not involve any lack of rigour in the theory, but is merely
a convenient notation, enabling us to express in a concise form
certain relations which we could, if necessary, rewrite in a form not
involving improper functions, but only in a cumbersome way which
would tend to obscure the argument.
(3)式と(4)式は、非固有関数自体は明確な値を持たないものの、積分関数の因子として現れる場合、その積分値は明確な値を持つことを示しています。量子論では、非固有関数が現れる場合は常に、最終的には積分関数で用いられるものとなります。したがって、非固有関数が全体を通して積分関数にのみ現れるように理論を書き直すことが可能であるはずです。そうすれば、非固有関数を完全に除去することができます。したがって、非固有関数の使用は理論の厳密さを欠くものではなく、単に便利な表記法であり、特定の関係を簡潔な形で表現することを可能にします。必要であれば、非固有関数を含まない形で書き直すこともできますが、その場合、議論をわかりにくくするだけの面倒な方法になります。
An alternative way of defining the \(\delta\) function is as the differential
coefficient \(\epsilon^\prime(x)\) of the function \(\epsilon(x)\) given by
\(\delta\)関数を定義する別の方法は、\(\epsilon(x)\)関数の微分係数\(\epsilon^\prime(x)\)として次のように定義される。
\[
\left.
\begin{align}
\epsilon(x) &= 0\; (x < 0) \\
\\
&= 1\; (x \gt 0)
\end{align}
\right\}
\tag{5}
\]
We may verify that this is equivalent to the previous definition by
substituting \(\epsilon^\prime(x)\) for \(\delta(x)\) in the left-hand side of (3) and integrating
by parts. We find, for \(g_1\) and \(g_2\) two positive numbers,
これは、(3) の左辺の \(\delta(x)\) を \(\epsilon^\prime(x)\) に代入して部分積分することで、前の定義と等価であることが確認できます。\(g_1\) と \(g_2\) という 2 つの正の数について、
\[
\begin{align}
\int_{-g_2}^{g_1} f(x)\epsilon^\prime(x)dx &= \Big[f(x)\epsilon(x)\Big]_{-g_2}^{g_1}-\int_{-g_2}^{g_1} f^\prime(x)\epsilon(x)dx \\
\\
&= f(g_1) - \int_0^{g_1} f^\prime(x)dx \\
\\
&= f(0)
\end{align}
\]
in agreement with (3). The \(\delta\) function appears whenever one differen-
tiates a discontinuous function.
(3)と一致する。\(\delta\)関数は不連続関数を微分するときに必ず現れる。
There are a number of elementary equations which one can write
down about \(\delta\) functions. These equations are essentially rules of
manipulation for algebraic work involving 5 functions. The meaning
of any of these equations is that its two sides give equivalent results
as factors in an integrand.
\(\delta\)関数について書ける基本方程式は数多くあります。これらの方程式は、本質的には5つの関数を含む代数的処理の操作規則です。これらの方程式のいずれの意味も、その両辺が積分関数の因子として等価な結果を与えるということです。
Examples of such equations are
このような方程式の例としては、
\[
\begin{align}
\delta(-x) &= \delta(x) \tag{6} \\
\\
x\delta(x) &= 0 \tag{7} \\
\\
\delta(ax) &= a^{-1}\delta(x)\; (a > 0) \tag{8} \\
\\
\delta(x^2—a^2) &= \frac{1}{2}a^{-1}\{\delta(x—a)+\delta(x+a)\}\; (a > 0) \tag{9} \\
\\
\int \delta(a—x)\, dx\, \delta(x—b) &= \delta(a—b) \tag{10} \\
\\
f(x)\delta(x—a) &= f(a)\delta(x—a) \tag{11}
\end{align}
\]
Equation (6), which merely states that \(\delta(x)\) is an even function of its
variable \(x\) is trivial. To verify (7) take any continuous function of
\(x, f(x)\). Then
式(6)は、\(\delta(x)\)がその変数\(x\)の偶関数であることを単に述べているだけであり、自明である。式(7)を検証するには、任意の連続関数\(x, f(x)\)をとる。すると、
\[
\int f(x)x\delta(x)dx = 0
\]
from (3). Thus \(x\delta(x)\) as a factor in an integrand is equivalent to
zero, which is just the meaning of (7). (8) and (9) may be verified
by similar elementary arguments. To verify (10) take any continuous
function of \(a,f(a)\). Then
(3)より、\(x\delta(x)\) は被積分関数の因子としてゼロと等価であり、これはまさに(7)の意味である。(8)と(9)は同様の基本的な議論によって検証できる。(10)を検証するには、任意の連続関数 \(a,f(a)\) を取る。すると、
\[
\begin{align}
\int f(a)da \int \delta(a-x)dx\delta(x-b) &= \int \delta(x-b)dx\int f(a)da\delta(a-x) \\
\\
&= \int \delta(x-b)dx f(x) = \int f(a) da \delta(a-b)
\end{align}
\]
Thus the two sides of (10) are equivalent as factors in an integrand
with a as variable of integration. It may be shown in the same way
that they are equivalent also as factors in an integrand with 6 as
variable of integration, so that equation (10) is justified from either
of these points of view. Equation (11) is also easily justified, with
the help of (4), from two points of view.
このように、(10)式の両辺は、積分変数としてαを持つ被積分関数の因子として同値である。同様に、αを積分変数としてαを持つ被積分関数の因子としても同値であることが示され、したがって、式(10)はこれらのどちらの観点からも正当化される。式(11)もまた、式(4)の助けを借りて、2つの観点から容易に正当化される。
Equation (10) would be given by an application of (4) with
\(f(x) = \delta(x—b)\). We have here an illustration of the fact that we may
often use an improper function as though it were an ordinary con-
tinuous function, without getting a wrong result.
式(10)は、式(4)に\(f(x) = \delta(x—b)\)を適用することで得られる。これは、誤った結果を得ることなく、不定関数をあたかも通常の連続関数であるかのように用いることがよくあることを示す例である。
Equation (7) shows that, whenever one divides both sides of an
equation by a variable \(x\) which can take on the value zero, one
should add on to one side an arbitrary multiple of \(\delta(x)\), i.e. from an
equation
式(7)は、方程式の両辺を、値がゼロになり得る変数\(x\)で割る場合、片辺に\(\delta(x)\)の任意の倍数を加算する必要があることを示している。つまり、
\[
A=B \tag{12}
\]
one cannot infer
推測することはできない
\[
A/x = B/x
\]
but only
しかし、
\[
A/x = B/x + c\delta(x) \tag{13}
\]
where \(c\) is unknown.
ここで\(c\)は未知数である。
As an illustration of work with the \(\delta\) function, we may consider the
differentiation of log \(x\). The usual formula
\(\delta\)関数の例として、log \(x\)の微分を考えてみましょう。通常の式は
\[
\frac{d}{dx}\log x = \frac{1}{x} \tag{14}
\]
requires examination for the neighbourhood of \(x = 0\). In order to
make the reciprocal function \(1/x\) well defined in the neighbourhood
of \(x = 0\) (in the sense of an improper function) we must impose on
it an extra condition, such as that its integral from \(-\epsilon\) to \(\epsilon\) vanishes.
With this extra condition, the integral of the right-hand side of (14)
from \(-\epsilon\) to \(\epsilon\) vanishes, while that of the left-hand side of (14) equals
\(\log(-1)\), so that (14) is not a correct equation. To correct it, we must
remember that, taking principal values, \(\log x\) has a pure imaginary
term \(i\pi\) for negative values of \(x\). As x passes through the value zero
this pure imaginary term vanishes discontinuously. The differen-
tiation of this pure imaginary term gives us the result \(-i\pi\delta(x)\), so
that (14) should read
\(x = 0\) の近傍について調べる必要がある。逆関数 \(1/x\) を \(x = 0\) の近傍で（非固有関数の意味で）明確に定義するためには、\(-\epsilon\) から \(\epsilon\) までの積分がゼロになるといった追加の条件を課す必要がある。この追加の条件により、(14) の右辺の \(-\epsilon\) から \(\epsilon\) までの積分はゼロになるが、(14) の左辺の積分は \(\log(-1)\) となるので、(14) は正しい方程式ではない。これを修正するには、主値をとると、\(\log x\) は \(x\) が負の値であるときに純虚数項 \(i\pi\) を持つことを覚えておく必要があります。x が値 0 を通過すると、この純虚数項は不連続に消滅します。この純虚数項を微分すると \(-i\pi\delta(x)\) が得られるので、(14) は次のように読み替えられます。
\[
\frac{d}{dx}\log x = \frac{1}{x}-i\pi\delta(x) \tag{15}
\]
The particular combination of reciprocal function and \(\delta\) function
appearing in (15) plays an important part in the quantum theory of
collision processes (see §50).
(15)式に現れる逆関数と\(\delta\)関数の特定の組み合わせは、衝突過程の量子論において重要な役割を果たす（§50参照）。
Using the notation of the \(\delta\) function, we can proceed with the theory
of representations. Let us suppose first that we have a single observ-
able \(\xi\) forming by itself a complete commuting set, the condition for
this being that there is only one eigenstate of \(\xi\) belonging to any
eigenvalue \(\xi^\prime\), and let us set up an orthogonal representation in which
the basic vectors are eigenvectors of \(\xi\) and are written \(\langle\xi^\prime|,|\xi^\prime\rangle\).
\(\delta\) 関数の表記法を用いて、表現理論を進めることができます。まず、単一のオブザーバブル \(\xi\) がそれ自体で完全可換集合を形成すると仮定します。この条件として、任意の固有値 \(\xi^\prime\) に属する \(\xi\) の固有状態は 1 つだけ存在します。そして、基本ベクトルが \(\xi\) の固有ベクトルであり、\(\langle\xi^\prime|,|\xi^\prime\rangle\) と表記される直交表現を設定します。
In the case when the eigenvalues of \(\xi\) are discrete, we can normalize
the basic vectors, and we then have
\(\xi\) の固有値が離散的な場合、基本ベクトルを正規化することができ、
\[
\begin{align}
\langle\xi^\prime|\xi^{\prime\prime}\rangle &= 0\;(\xi^\prime \neq \xi^{\prime\prime}) \\
\langle\xi^\prime|\xi^\prime\rangle &= 1
\end{align}
\]
These equations can be combined into the single equation
これらの方程式は、1つの方程式にまとめることができる。
\[
\langle\xi^\prime|\xi^{\prime\prime}\rangle = \delta_{\xi^\prime \xi^{\prime\prime}} \tag{16}
\]
where the symbol \(\delta\) with two suffixes, which we shall often use in the
future, has the meaning
ここで、2つの接尾辞を持つ記号\(\delta\)は、将来よく使うことになるが、意味は以下の通りである。
\[
\left.
\begin{array}{r c c}
\delta_{rs} = 0 & when & r \neq s \\
= 1 & when & r=s
\end{array}
\right\}
\tag{17}
\]
In the case when the eigenvalues of \(\xi\) are continuous we cannot
normalize the basic vectors. If we now consider the quantity \(\langle\xi^\prime|\xi^{\prime\prime}\rangle\)
with \(\xi^\prime\) fixed and \(\xi^{\prime\prime}\) varying, we see from the work connected with
expression (29) of §10 that this quantity vanishes for \(\xi^{\prime\prime} \neq \xi^\prime\) and
that its integral over a range of \(\xi^{\prime\prime}\) extending through the value \(\xi^\prime\)
is finite, equal to \(c\) say. Thus
\(\xi\) の固有値が連続である場合、基本ベクトルを正規化することはできません。\(\xi^\prime\) が固定で \(\xi^{\prime\prime}\) が変化する量 \(\langle\xi^\prime|\xi^{\prime\prime}\rangle\) を考えると、§10 の式 (29) に関連する作業から、この量は \(\xi^{\prime\prime} \neq \xi^\prime\) に対してゼロとなり、\(\xi^\prime\) を通る \(\xi^{\prime\prime}\) の範囲での積分は有限であり、例えば \(c\) に等しいことがわかります。したがって
\[
\langle\xi^\prime|\xi^{\prime\prime}\rangle = c\delta(\xi^\prime-\xi^{\prime\prime})
\]
From (30) of §10, \(c\) is a positive number. It may vary with \(\xi^\prime\), so
we should write it \(c(\xi^\prime)\) or \(c\)' for brevity, and thus we have
§10の(30)より、\(c\)は正の数である。\(\xi^\prime\)に応じて変化するので、簡潔にするために\(c(\xi^\prime)\)または\(c\)'と書き、
\[
\langle\xi^\prime|\xi^{prime\prime}\rangle = c^\prime\delta(\xi^\prime - \xi^{\prime\prime}) \tag{18}
\]
Alternatively, we have
あるいは、
\[
\langle\xi^\prime|\xi^{\prime\prime}\rangle = c^{\prime\prime}\delta(\xi^\prime - \xi^{\prime\prime}) \tag{19}
\]
where \(c^{\prime\prime}\) is short for \(c(\xi^{\prime\prime})\), the right-hand sides of (18) and (19) being
equal on account of (11).
ここで\(c^{\prime\prime}\)は\(c(\xi^{\prime\prime})\)の略であり、(18)と(19)の右辺は(11)により等しい。
Let us pass to another representation whose basic vectors are
eigenvectors of \(\xi\), the new basic vectors being numerical multiples of
the previous ones. Calling the new basic vectors \(\langle\xi^{\prime *}|,|\xi^{\prime *}\rangle\), with the
additional label * to distinguish them from the previous ones, we have
\(\xi\) の固有ベクトルを基本ベクトルとする別の表現に移りましょう。新しい基本ベクトルは以前のものの数値倍です。新しい基本ベクトルを \(\langle\xi^{\prime *}|,|\xi^{\prime *}\rangle\) と呼び、以前のものと区別するために * というラベルを付けると、
\[
\langle\xi^{\prime *}| = k^\prime\langle\xi^\prime|, |\xi^{\prime *}\rangle = \overline{k^\prime}|\xi^\prime\rangle
\]
where \(k^\prime\) is short for \(k(\xi^\prime)\) and is a number depending on \(\xi^\prime\). We get
ここで\(k^\prime\)は\(k(\xi^\prime)\)の略で、\(\xi^\prime\)に依存する数である。
\[
\langle\xi^{\prime *}|\xi^{\prime\prime *}\rangle = k^\prime\overline{k^{\prime\prime}}\langle\xi^\prime|\xi^{\prime\prime}\rangle = k^\prime\overline{k^{\prime\prime}}c^\prime\delta(\xi^\prime - \xi^{\prime\prime})
\]
with the help of (18). This may be written
（18）の助けを借りて、これは次のように書ける。
\[
\langle\xi^{\prime *}|\xi^{\prime\prime *}\rangle = k^\prime\overline{k^\prime}c^\prime\delta(\xi^\prime - \xi^{\prime\prime})
\]
from (11). By choosing \(k^\prime\) so that its modulus is \(c^{\prime \frac{1}{2}}\), which is possible since \(c^\prime\) is positive, we arrange to have
(11)より、\(k^\prime\)をその絶対値\(c^{\prime \frac{1}{2}}\)となるように選ぶと、\(c^\prime\)が正であるので、次のように整理できる。
\[
\langle\xi^{\prime *}|\xi^{\prime\prime *}\rangle = \delta(\xi^\prime - \xi^{\prime\prime}) \tag{20}
\]
The lengths of the new basic vectors are now fixed so as to make the
representation as simple as possible. The way these lengths were
fixed is in some respects analogous to the normalizing of the basic
vectors in the case of discrete \(\xi^\prime\), equation (20) being of the form of
(16) with the \(\delta\) function \(\delta(\xi^\prime - \xi^{\prime\prime})\) replacing the \(\delta\) symbol \(\delta_{xi^\prime\xi^{\prime\prime}}\) of
equation (16). We shall continue to work with the new representation
and shall drop the * labels in it to save writing. Thus (20) will now be written
新しい基本ベクトルの長さは、表現を可能な限り単純にするために固定されています。これらの長さの固定方法は、離散\(\xi^\prime\)の場合の基本ベクトルの正規化といくつかの点で類似しており、式(20)は式(16)の\(\delta\)記号\(\delta_{xi^\prime\xi^{\prime\prime}}\)を\(\delta\)関数\(\delta(\xi^\prime - \xi^{\prime\prime})\)に置き換えた形になります。この新しい表現を用いて作業を続け、記述を簡略化するために*ラベルを削除します。したがって、式(20)は次のように書きます。
\[
\langle\xi^\prime|\xi^{\prime\prime}\rangle = \delta(\xi^\prime - \xi^{\prime\prime}) \tag{21}
\]
We can develop the theory on closely parallel lines for the discrete
and continuous cases. For the discrete case we have, using (16),
離散ケースと連続ケースの両方において、理論はほぼ平行線上に展開できる。離散ケースについては、(16)を用いて、
\[
\sum_{\xi^\prime} |\xi^\prime\rangle\langle\xi^\prime|\xi^{\prime\prime}\rangle = \sum_{\xi^\prime} |\xi^\prime\rangle\delta_{\xi^\prime\xi^{\prime\prime}} = |\xi^{\prime\prime}\rangle
\]
the sum being taken over all eigenvalues. This equation holds for
any basic ket \(|\xi^{\prime\prime}\rangle\) and hence, since the basic kets form a complete set,
この式は、すべての固有値について和をとる。この式は、任意の基本ケット\(|\xi^{\prime\prime}\rangle\)に対して成立し、したがって、基本ケットは完全な集合を形成するので、
\[
\sum_{\xi^\prime} |\xi^\prime\rangle\langle\xi^\prime| = 1 \tag{22}
\]
This is a useful equation expressing an important property of the
basic vectors, namely, of \(|\xi^\prime\rangle\) is multiplied on the right by \(\langle\xi^\prime|\) the
resulting linear operator, summed for all \(xi^\prime\), equals the unit operator.
Equations (16) and (22) give the fundamental properties of the basic
vectors for the discrete case.
これは基本ベクトルの重要な性質を表す便利な式である。すなわち、\(|\xi^\prime\rangle\) の右側に \(\langle\xi^\prime|\) を乗じると、結果として得られる線形作用素をすべての \(xi^\prime\) について加算すると単位作用素になる。
式(16)と式(22)は離散的な場合の基本ベクトルの基本的な性質を与えている。
Similarly, for the continuous case we have, using (21),
同様に連続体の場合、(21)を用いると、
\[
\int |\xi^\prime\rangle d\xi^\prime\langle\xi^\prime|\xi^{\prime\prime}\rangle = \int |\xi^\prime\rangle d\xi^\prime\delta(\xi^\prime - \xi^{\prime\prime}) = |\xi^{\prime\prime}\rangle \tag{23}
\]
from (4) applied with a ket vector for \(f(x)\), the range of integration
being the range of eigenvalues. This holds for any basic ket \(|\xi^{\prime\prime}\rangle\)
and hence
(4)式に\(f(x)\)のケットベクトルを適用した場合、積分範囲は固有値の範囲となる。これは任意の基本ケット\(|\xi^{\prime\prime}\rangle\)に対して成り立ち、したがって
\[
\int |\xi^\prime\rangle d\xi^\prime\langle\xi^\prime| = 1 \tag{24}
\]
This is of the same form as (22) with an integral replacing the sum.
Equations (21) and (24) give the fundamental properties of the basic
vectors for the continuous case.
これは(22)式と同じ形で、和を積分に置き換えたものである。
式(21)と式(24)は連続の場合の基本ベクトルの基本的な性質を与える。
Equations (22) and (24) enable one to expand any bra or ket in
terms of the basic vectors. For example, we get for the ket \(|P\rangle\) in the
discrete case, by multiplying (22) on the right by \(|P\rangle\),
式(22)と式(24)は、任意のブラまたはケットを基本ベクトルを用いて展開することを可能にする。例えば、離散的なケースにおけるケット\(|P\rangle\)については、右側の式(22)に\(|P\rangle\)を乗じることで、
\[
|P\rangle = \sum_{xi^\prime} |\xi^\prime\rangle\langle\xi^\prime|P\rangle \tag{25}
\]
which gives \(|P\rangle\) expanded in terms of the \(|\xi^\prime\rangle\)'s and shows that the
coefficients in the expansion are \(\langle\xi^\prime|P\rangle\), which are just the numbers
forming the representative of \(|P\rangle\). Similarly, in the continuous case,
これは\(|P\rangle\)を\(|\xi^\prime\rangle\)で展開したもので、展開における係数は\(\langle\xi^\prime|P\rangle\)であり、これは\(|P\rangle\)の代表となる数であることを示しています。同様に、連続の場合、
\[
|P\rangle = \int |\xi^\prime\rangle d\xi^\prime\langle\xi^\prime|P\rangle \tag{26}
\]
giving \(|P\rangle\) as an integral over the \(|\xi^\prime\rangle\)'s, with the coefficient in the integrand again just the representative \(\langle\xi^\prime|P\rangle\) of \(|P\rangle\). The conjugate imaginary equations to (25) and (26) would give the bra vector \(\langle P|\)
expanded in terms of the basic bras.
\(|P\rangle\) を \(|\xi^\prime\rangle\) の積分として与え、積分関数の係数は再び \(|P\rangle\) の代表 \(\langle\xi^\prime|P\rangle\) となる。(25) と (26) の共役虚数方程式は、基本ブラ群で展開されたブラベクトル \(\langle P|\) を与える。
Our present mathematical methods enable us in the continuous
case to expand any ket as an integral of eigenkets of \(\xi\). If we do not
use the \(\delta\) function notation, the expansion ofa general ket will consist
of an integral plus a sum, as in equation (25) of §10, but the \(\delta\) function
enables us to replace the sum by an integral in which the integrand
consists of terms each containing a \(\delta\) function as a factor. For
example, the eigenket \(|\xi^{\prime\prime}\rangle\) may be replaced by an integral of eigen-
kets, as is shown by the second of equations (23).
現在の数学的手法により、連続の場合、任意のケットを \(\xi\) の固有ケットの積分として展開することができます。\(\delta\)関数表記を使用しない場合、一般ケットの展開は§10の式(25)のように積分と和で構成されますが、\(\delta\)関数を使用すると、その和を、それぞれ\(\delta\)関数を因子として含む項からなる積分で置き換えることができます。例えば、固有ケット\(|\xi^{\prime\prime}\rangle\)は、式(23)の2番目に示すように、固有ケットの積分で置き換えることができます。
If \(\langle Q|\) is any bra and \(|P\rangle\) any ket we get, by further applications
of (22) and (24),
\(\langle Q|\) が任意のブラであり、\(|P\rangle\) が任意のケットであるとすると、(22) と (24) をさらに適用すると、
\[
\langle Q|P \rangle = \sum_{\xi^\prime} \langle Q|\xi^\prime \rangle\langle \xi^\prime|P\rangle \tag{27}
\]
for discrete \(\xi^\prime\) and
離散\(\xi^\prime\)と
\[
\langle Q|P \rangle = \int \langle Q|\xi^\prime \rangle d\xi^\prime \langle \xi^\prime|P\rangle \tag{28}
\]
for continuous \(\xi^\prime\). These equations express the scalar product of \(\langle Q|\)
and \(|P\rangle\) in terms of their representatives \(\langle Q|\xi^\prime\rangle\) and \(\langle\xi^\prime|P\rangle\). Equation (27) is just the usual formula for the scalar product of two vectors in terms of the coordinates of the vectors, and (28) is the
natural modification of this formula for the case of continuous \(\xi^\prime\),
with an integral instead of a sum.
連続ベクトル \(\xi^\prime\) に対して。これらの式は、ベクトル \(\langle Q|\) と \(|P\rangle\) のスカラー積を、それらの代表値 \(\langle Q|\xi^\prime\rangle\) と \(\langle\xi^\prime|P\rangle\) で表しています。式 (27) は、ベクトルの座標を用いた2つのベクトルのスカラー積を表す通常の式であり、式 (28) は、連続ベクトル \(\xi^\prime\) の場合に、この式を和の代わりに積分を用いて自然に修正したものです。
The generalization of the foregoing work to the case when \(\xi\) has
both discrete and continuous eigenvalues is quite straightforward.
Using \(\xi^r\) and \(\xi^s\) to denote discrete eigenvalues and \(\xi^\prime\) and \(\xi^{\prime\prime}\) to denote continuous eigenvalues, we have the set of equations
これまでの研究を、\(\xi\) が離散固有値と連続固有値の両方を持つ場合へと一般化するのは非常に簡単です。離散固有値を \(\xi^r\) と \(\xi^s\) で表し、連続固有値を \(\xi^\prime\) と \(\xi^{\prime\prime}\) で表すと、以下の方程式が得られます。
\[
\langle\xi^r|\xi^s\rangle = \delta_{\xi^r\xi^s}, \langle\xi^r|\xi^\prime\rangle = 0, \langle\xi^\prime|\xi^{\prime\prime}\rangle = \delta(\xi^\prime - \xi^{\prime\prime}) \tag{29}
\]
as the generalization of (16) or (21). These equations express that
the basic vectors are all orthogonal, that those belonging to discrete
eigenvalues are normalized and those belonging to continuous eigen-
values have their lengths fixed by the same rule as led to (20). From
(29) we can derive, as the generalization of (22) or (24),
(16) または (21) の一般化として、これらの式は、基本ベクトルがすべて直交していること、離散固有値に属するものは正規化されていること、連続固有値に属するものはその長さが (20) で導かれたのと同じ規則で固定されていることを表現している。(29) からは、(22) または (24) の一般化として、
\[
\sum_{xi^r} |\xi^r\rangle\langle\xi^r|+\int |\xi^\prime\rangle d\xi^\prime\langle\xi^\prime| = 1 \tag{30}
\]
the range of integration being the range of continuous eigenvalues.
With the help of (30), we get immediately
積分範囲は連続する固有値の範囲である。
(30) の助けを借りれば、直ちに
\[
|P\rangle = \sum_{xi^r} |\xi^r\rangle\langle\xi^r|P\rangle + \int |xi^\prime\rangle d\xi^\prime\langle\xi^\prime|P\rangle \tag{31}
\]
as the generalization of (25) or (26), and
（25）または（26）の一般化として、そして
\[
\langle Q|P \rangle = \sum_{xi^r} \langle Q|\xi^r\rangle\langle\xi^r|P\rangle + \int \langle Q|\xi^\prime\rangle d\xi^\prime\langle\xi^\prime|P\rangle \tag{32}
\]
as the generalization of (27) or (28).
(27) または (28) の一般化として。
Let us now pass to the general case when we have several commuting
observables \(xi_1,\xi_2,...,\xi_u\) forming a complete commuting set and set up
an orthogonal representation in which the basic vectors are simul-
taneous eigenvectors of all of them, and are written \(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|,|\xi_1^\prime...\xi_u^\prime\rangle\).
Let us suppose \(\xi_1,\xi_2,...,\xi_u (v \leq u)\) have discrete eigenvalues and
\(\xi_{v+1},...,\xi_u\) have continuous eigenvalues.
ここで、複数の可換なオブザーバブル \(xi_1,\xi_2,...,\xi_u\) が完全可換集合を形成する一般的なケースに移り、それらの同時固有ベクトルを基本ベクトルとする直交表現を設定し、\(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|,|\xi_1^\prime...\xi_u^\prime\rangle\) と書きます。
\(\xi_1,\xi_2,...,\xi_u (v \leq u)\) が離散固有値を持ち、\(\xi_{v+1},...,\xi_u\) が連続固有値を持つと仮定します。
Consider the quantity \(\langle\xi_1^\prime..\xi_v^\prime\xi_{v+1}^\prime..\xi_u^\prime|\xi_1^\prime..\xi_v^\prime\xi_{v+1}^{\prime\prime}..\xi_u^{\prime\prime}\rangle\). From the
orthogonality theorem, it must vanish unless each \(\xi_s^{\prime\prime} = \xi_s^\prime\) for
\(s=v+1,..,u\). By extending the work connected with expression
(29) of §10 to simultaneous eigenvectors of several commuting
observables and extending also the axiom (30), we find that the
\((u—v)\)-fold integral of this quantity with respect to each \(\xi_s^{\prime\prime}\) over
a range extending through the value \(\xi_s^\prime\) is a finite positive number.
Calling this number \(c^\prime\), the \(\prime\) denoting that it is a function of
\(\xi_1^\prime,..,\xi_v^\prime,\xi_{v+1}^\prime,..,\xi_u^\prime\), we can express our results by the equation
量 \(\langle\xi_1^\prime..\xi_v^\prime\xi_{v+1}^\prime..\xi_u^\prime|\xi_1^\prime..\xi_v^\prime\xi_{v+1}^{\prime\prime}..\xi_u^{\prime\prime}\rangle\) を考えます。
直交性定理より、\(s=v+1,..,u\) の各 \(\xi_s^{\prime\prime} = \xi_s^\prime\) が成立しない限り、この量はゼロになります。 §10の式(29)に関連する作業を、複数の可換なオブザーバブルの同時固有ベクトルに拡張し、公理(30)も拡張することにより、この量の各\(\xi_s^{\prime\prime}\)に関する\((u—v)\)回積分は、\(\xi_s^\prime\)の値を通る範囲で有限の正の数となることがわかる。
この数を\(c^\prime\)と呼び、\(\prime\)は\(\xi_1^\prime,..,\xi_v^\prime,\xi_{v+1}^\prime,..,\xi_u^\prime\)の関数であることを表す。この式は、
\[
\langle\xi_1^\prime..\xi_v^\prime\xi_{v+1}^\prime..\xi_u^\prime|\xi_1^\prime..\xi_v^\prime\xi_{v+1}^{\prime\prime}..\xi_u^{\prime\prime}\rangle = c^\prime\delta(\xi_{v+1}^\prime-\xi_{v+1}^{\prime\prime})..\delta(\xi_u^\prime - \xi_u^{\prime\prime}) \tag{33}
\]
with one \(delta\) factor on the right-hand side for each value of \(s\) from
\(v+1\) to \(u\). We now change the lengths of our basic vectors so as to
make \(c^\prime\) unity, by a procedure similar to that which led to (20). By
a further use of the orthogonality theorem, we get finally
\(v+1\)から\(u\)までの各\(s\)の値に対して、右辺に1つの\(デルタ\)因子が存在します。ここで、(20)を導いたのと同様の手順で、\(c^\prime\)が1となるように基本ベクトルの長さを変更します。
さらに直交性定理を用いると、最終的に
\[
\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\xi_1^{\prime\prime}...\xi_u^{\prime\prime}\rangle =
\delta_{\xi_1^\prime\xi_1^{\prime\prime}}..\delta_{\xi_v^\prime\xi_v^{\prime\prime}}\delta(\xi_{v+1}^\prime - \xi_{v+1}^{\prime\prime})..\delta(\xi_u^\prime - \xi_u^{\prime\prime}) \tag{34}
\]
with a two-suffix \(\delta\) symbol on the right-hand side for each \(\xi\) with
discrete eigenvalues and a \(\delta\) function for each \(\xi\) with continuous
eigenvalues. This is the generalization of (16) or (21) to the case when
there are several commuting observables in the complete set.
離散固有値を持つ各\(\xi\)に対して右辺に2つの接尾辞\(\delta\)記号が付き、連続固有値を持つ各\(\xi\)に対して\(\delta\)関数が付く。これは、(16)式または(21)式を、完全な集合の中に複数の可換オブザーバブルがある場合に一般化したものである。
From (34) we can derive, as the generalization of (22) or (24)
(34)から、(22)または（24）の一般化として、
\[
\sum_{\xi_1^\prime..\xi_v^\prime} \int \cdots \int |\xi_1^\prime...\xi_u^\prime\rangle d\xi_{v+1}^\prime..d\xi_u^\prime\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime| = 1 \tag{35}
\]
the integral being a \((u-—v)\)-fold one over all the \(\xi^\prime\)'s with continuous
eigenvalues and the summation being over all the \(xi^\prime\)'s with discrete
eigenvalues. Equations (34) and (35) give the fundamental properties
of the basic vectors in the present case. From (35) we can imme-
diately write down the generalization of (25) or (26) and of (27) or (28).
積分は連続固有値を持つすべての \(\xi^\prime\) にわたる \((u-—v)\) 重積分であり、和は離散固有値を持つすべての \(xi^\prime\) にわたる。式(34)と(35)は、この場合の基本ベクトルの基本的な性質を与える。(35)から、(25)または(26)、および(27)または(28)の一般化を直ちに書き記すことができる。
The case we have just considered can be further generalized by
allowing some of the \(\xi\)'s to have both discrete and continuous eigen-
values. The modifications required in the equations are quite straight-
forward, but will not be given here as they are rather cumbersome to
write down in general form.
先ほど検討したケースは、一部の\(\xi\)が離散固有値と連続固有値の両方を持つようにすることで、さらに一般化できます。式に必要な修正は非常に単純ですが、一般的な形で記述するのはやや煩雑であるため、ここでは示しません。
There are some problems in which it is convenient not to make the
\(c^\prime\) of equation (33) equal unity, but to make it equal to some definite
function of the \(\xi^\prime\)'s instead. Calling this function of the \(\xi^\prime\)'s \(\rho^{\prime -1}\) we
then have, instead of (34)
問題によっては、式(33)の\(c^\prime\)を1とするのではなく、\(\xi^\prime\)の何らかの特定の関数と等しくすると便利な場合があります。この\(\xi^\prime\)の関数を\(\rho^{\prime -1}\)とすると、(34)の代わりに
\[
\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\xi_1^{\prime\prime}...\xi_u^{\prime\prime}\rangle =
\rho^{\prime -1}\delta_{\xi_1^\prime\xi_1^{\prime\prime}}..\delta_{\xi_v^\prime\xi_v^{\prime\prime}}\delta(\xi_{v+1}^\prime - \xi_{v+1}^{\prime\prime})..\delta(\xi_u^\prime - \xi_u^{\prime\prime}) \tag{36}
\]
and instead of (35) we get
そして（35）の代わりに
\[
\sum_{\xi_1^\prime..\xi_v^\prime} \int \cdots \int |\xi_1^\prime...\xi_u^\prime\rangle\rho^\prime d\xi_{v+1}^\prime..d\xi_u^\prime \langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime| = 1 \tag{37}
\]
\(\rho^\prime\) is called the weight function of the representation, \(\rho^\prime d\xi_{v+1}^\prime..d\xi_u^\prime\) being the ‘weight' attached to a small volume element of the space of the variables \(\xi_{v+1}^\prime,...,\xi_u^\prime\).
\(\rho^\prime\) は表現の重み関数と呼ばれ、\(\rho^\prime d\xi_{v+1}^\prime..d\xi_u^\prime\) は変数 \(\xi_{v+1}^\prime,...,\xi_u^\prime\) の空間の小さな体積要素に付加される「重み」です。
The representations we considered previously all had the weight
function unity. The introduction of a weight function not unity is
entirely a matter of convenience and does not add anything to the
mathematical power of the representation. The basic bras \(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^{\prime *}|\) of a representation with the weight function \(\rho^\prime\) are connected with
the basic bras \(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\) of the corresponding representation with the weight function unity by
これまで検討してきた表現はすべて重み関数が1でした。重み関数が1でない表現の導入は、完全に便宜上のものであり、表現の数学的能力には何ら影響を与えません。重み関数が\(\rho^\prime\)である表現の基本ブラ\(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^{\prime *}|\)は、対応する重み関数が1である表現の基本ブラ\(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\)と次のように結びついています。
\[
\langle\xi_1^\prime...\xi_u^{\prime *}|=\rho^{\prime -\frac{1}{2}}\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime| \tag{38}
\]
as is easily verified. An example of a useful representation with
non-unit weight function occurs when one has two \(xi\)'s which are
the polar and azimuthal angles \(\theta\) and \(\phi\) giving a direction in three-
dimensional space and one takes \(\rho^\prime = \sin \theta^\prime\). One then has the element
of solid angle \(\sin \theta^\prime d\phi^\prime\) occurring in (37).
は簡単に検証できます。非単位重み関数を用いた便利な表現の例としては、3次元空間における方向を示す極角と方位角である\(\theta\)と\(\phi\)の2つの\(xi\)があり、\(\rho^\prime = \sin \theta^\prime\)とするときが挙げられます。すると、(37)に立体角の要素\(\sin \theta^\prime d\phi^\prime\)が出現します。
In §14 we saw how to represent ket and bra vectors by sets of
numbers. We now have to do the same for linear operators, in order
to have a complete scheme for representing all our abstract quantities
by sets of numbers. The same basic vectors that we had in §14 can
be used again for this purpose.
§14では、ケットベクトルとブラベクトルを数の集合で表現する方法を見ました。今度は線型作用素についても同じことを行い、すべての抽象量を数の集合で表現するための完全な枠組みを構築する必要があります。この目的には、§14で使用したのと同じ基本ベクトルを再び使用できます。
Let us suppose the basic vectors are simultaneous eigenvectors of
a complete set of commuting observables \(\xi_1,\xi_2,...,\xi_u\). If \(\alpha\) is any
linear operator, we take a general basic bra \(\langle\xi_1^\prime,...\xi_u^\prime|\) and a general basic ket \(|\xi_1^{\prime\prime}...\xi_u^{\prime\prime}\rangle\) and form the numbers
基本ベクトルが、可換なオブザーバブル \(\xi_1,\xi_2,...,\xi_u\) の完全な集合の同時固有ベクトルであると仮定する。\(\alpha\) が任意の線型作用素である場合、一般基本ブラ \(\langle\xi_1^\prime,...\xi_u^\prime|\) と一般基本ケット \(|\xi_1^{\prime\prime}...\xi_u^{\prime\prime}\rangle\) を取り、以下の数を形成する。
\[
\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\alpha|\xi_1^{\prime\prime}...\xi_u^{\prime\prime}\rangle \tag{39}
\]
These numbers are sufficient to determine \(\alpha\) completely, since in the first place they determine the ket \(\alpha|\xi_1^{\prime\prime}...\xi_u^{\prime\prime}\rangle\) (as they provide the representative of this ket), and the value of this ket for all the basic kets \(|\xi_1^{\prime\prime}...\xi_u^{\prime\prime}\rangle\) determines \(\alpha\). The numbers (39) are called the representative of the linear operator \(\alpha\) or of the dynamical variable \(\alpha\). They are more complicated than the representative of a ket or bra vector in that they involve the parameters that label two basic vectors instead of one.
これらの数は \(\alpha\) を完全に決定するのに十分です。なぜなら、まずこれらの数はケット \(\alpha|\xi_1^{\prime\prime}...\xi_u^{\prime\prime}\rangle\) を決定し（このケットの代表値を提供するため）、すべての基本ケット \(|\xi_1^{\prime\prime}...\xi_u^{\prime\prime}\rangle\) に対するこのケットの値によって \(\alpha\) が決定されるからです。数（39）は、線形作用素 \(\alpha\) の代表値、または動的変数\(\alpha\)の代表値と呼ばれます。これらは、1つの基本ベクトルではなく2つの基本ベクトルをラベル付けするパラメータを含むため、ケットベクトルやブラベクトルの代表値よりも複雑です。
Let us examine the form of these numbers in simple cases. Take
first the case when there is only one \(\xi\), forming a complete commuting
set by itself, and suppose that it has discrete eigenvalues \(\xi^\prime\). The
representative of \(\alpha\) is then the discrete set of numbers \(\langle\xi^\prime|\alpha|\xi^{\prime\prime}\rangle\). If
one had to write out these numbers explicitly, the natural way of
arranging them would be as a two-dimensional array, thus:
単純なケースでこれらの数の形式を調べてみましょう。まず、\(\xi\) が1つだけ存在し、それ自体が完全可換集合を形成し、それが離散固有値 \(\xi^\prime\) を持つ場合を考えます。\(\alpha\) の代表は、離散数集合 \(\langle\xi^\prime|\alpha|\xi^{\prime\prime}\rangle\) です。これらの数を明示的に書き出す場合、自然な方法は2次元配列として並べることです。つまり、次のようになります。
\[
\begin{pmatrix}
\langle\xi^1|\alpha|\xi^1\rangle & \langle\xi^1|\alpha|\xi^2\rangle & \langle\xi^1|\alpha|\xi^3\rangle & \cdots \\
\langle\xi^2|\alpha|\xi^1\rangle & \langle\xi^2|\alpha|\xi^2\rangle & \langle\xi^2|\alpha|\xi^3\rangle & \cdots \\
\langle\xi^3|\alpha|\xi^1\rangle & \langle\xi^3|\alpha|\xi^2\rangle & \langle\xi^3|\alpha|\xi^3\rangle & \cdots \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
\end{pmatrix}
\tag{40}
\]
where \(\xi^1,\xi^2,\xi^3,..\) are all the eigenvalues of \(\xi\). Such an array is called
a matrix and the numbers are called the clements of the matrix. We
make the convention that the elements must always be arranged so
that those in the same row refer to the same basic bra vector and
those in the same column refer to the same basic ket vector.
ここで、\(\xi^1,\xi^2,\xi^3,..\) はすべて \(\xi\) の固有値です。このような配列は行列と呼ばれ、その数は行列の要素と呼ばれます。同じ行にある要素は同じ基本ブラベクトルを参照し、同じ列にある要素は同じ基本ケットベクトルを参照するように、要素を常に配置するという規則があります。
An element \(\langle\xi^\prime|\alpha|\xi^\prime\rangle\) referring to two basic vectors with the same
label is called a diagonal element of the matrix, as all such elements
lie on a diagonal. If we put \(\alpha\) equal to unity, we have from (16) ail
the diagonal elements equal to unity and all the other elements equal
to zero. The matrix is then called the unit matrix.
同じラベルを持つ2つの基本ベクトルを指す要素 \(\langle\xi^\prime|\alpha|\xi^\prime\rangle\) は、すべての要素が対角線上にあるため、行列の対角要素と呼ばれます。\(\alpha\) を 1 とすると、(16) より、すべての対角要素が 1 となり、その他の要素はすべて 0 となります。このとき、この行列は単位行列と呼ばれます。
If \(\alpha\) is real, we have
\(\alpha\)が実数であれば、
\[
\langle\xi^\prime|\alpha|\xi^{\prime\prime}\rangle = \overline{\langle\xi^{\prime\prime}|\alpha|\xi^\prime\rangle} \tag{41}
\]
The effect of these conditions on the matrix (40) is to make the
diagonal elements all real and each of the other elements equal the
conjugate complex ofits mirror reflection in the diagonal. ‘The matrix
is then called a Hermitian matrix.
これらの条件が行列(40)に及ぼす効果は、対角要素がすべて実数となり、他の各要素が対角要素における鏡映の共役複素数に等しくなることである。したがって、この行列はエルミート行列と呼ばれる。
If we put \(\alpha\) equal to \(\xi\), we get for a general element of the matrix
\(\alpha\)を\(\xi\)と等しくすると、行列の一般要素は
\[
\langle\xi^\prime|\xi|\xi^{\prime\prime}\rangle = \xi^\prime\langle\xi^\prime|\xi^{\prime\prime}\rangle = \xi^\prime\delta_{\xi^\prime\xi^{\prime\prime}} \tag{42}
\]
Thus all the elements not on the diagonal are zero. The matrix is
then called a diagonal matrix. Its diagonal elements are just equal
to the eigenvalues of \(\xi\). More generally, if we put \(\alpha\) equal to \(f(\xi)\), a
function of \(\xi\), we get
したがって、対角線上にない要素はすべてゼロです。この行列は対角行列と呼ばれます。その対角要素は\(\xi\)の固有値に等しくなります。より一般的には、\(\alpha\)を\(\xi\)の関数である\(f(\xi)\)と置くと、次のようになります。
\[
\langle\xi^\prime|f(\xi)|\xi^{\prime\prime}\rangle = f(\xi^\prime)\delta_{\xi^\prime\xi^{\prime\prime}} \tag{43}
\]
and the matrix is again a diagonal matrix.
そして行列は再び対角行列になります。
Let us determine the representative of a product \(\alpha\beta\) of two linear
operators \(\alpha\) and \(\beta\) in terms of the representatives of the factors.
From equation (22) with \(\xi^{\prime\prime}\) substituted for \(\xi^\prime\) we obtain
2つの線形作用素\(\alpha\)と\(\beta\)の積\(\alpha\beta\)の代表を因子の代表を用いて決定しよう。式(22)において\(\xi^\prime\)を\(\xi^{\prime\prime}\)に代入すると、次式が得られる。
\[
\begin{align}
\langle\xi^\prime|\alpha\beta|\xi^{\prime\prime}\rangle &= \langle\xi^\prime|\alpha\sum_{\xi^{\prime\prime\prime}} |\xi^{\prime\prime\prime}\rangle\langle\xi^{\prime\prime\prime}|\beta|\xi^{\prime\prime}\rangle \\
\\
&=\sum_{\xi^{\prime\prime\prime}}\langle\xi^\prime|\alpha|\xi^{\prime\prime\prime}\rangle\langle\xi^{\prime\prime\prime}|\beta|\xi^{\prime\prime}\rangle \tag{44}
\end{align}
\]
which gives us the required result. Equation (44) shows that the
matrix formed by the elements \(\langle\xi^\prime|\alpha\beta|\xi^{\prime\prime}\rangle\) equals the product of the
matrices formed by the elements \(\langle\xi^\prime|\alpha|\xi^{\prime\prime}\rangle\) and \(\langle\xi^\prime|\beta|\xi^{\prime\prime}\rangle\) respectively,
according to the usual mathematical rule for multiplying matrices.
This rule gives for the element in the rth row and sth column of the
product matrix the sum of the product of each element in the \(r\)-th
row of the first factor matrix with the corresponding element in the \(s\)-th
column of the second factor matrix. The multiplication of matrices
is non-commutative, like the multiplication of linear operators.
これにより、必要な結果が得られます。式(44)は、要素\(\langle\xi^\prime|\alpha\beta|\xi^{\prime\prime}\rangle\)によって形成される行列が、行列の乗算に関する通常の数学的規則に従って、それぞれ要素\(\langle\xi^\prime|\alpha|\xi^{\prime\prime}\rangle\)と\(\langle\xi^\prime|\beta|\xi^{\prime\prime}\rangle\)によって形成される行列の積に等しいことを示しています。
この規則は、積行列のr行s列の要素に対して、最初の因子行列の\(r\)行の各要素と、2番目の因子行列の\(s\)列の対応する要素との積の和を与えます。行列の乗算は、線形作用素の乗算と同様に非可換です。
We can summarize our results for the case when there is only one \(\xi\) and it has discrete eigenvalues as follows: \(\xi\) が1つだけ存在し、それが離散的な固有値を持つ場合の結果を次のようにまとめることができます。
Let us now consider the case when there is only one \(\xi\) and it has
continuous eigenvalues. The representative of \(\alpha\) is now \(\langle\xi^\prime|\alpha|\xi^{\prime\prime}\rangle\), a
function of two variables \(\xi^\prime\) and \(\xi^{\prime\prime}\) which can vary continuously. It
is convenient to call such a function a ‘matrix', using this word in
a generalized sense, in order that we may be able to use the same
terminology for the discrete and continuous cases. One of these
generalized matrices cannot, of course, be written out as a two-
dimensional array like an ordinary matrix, since the number of its
rows and columns is an infinity equal to the number of points on a
line, and the number of its elements is an infinity equal to the
number of points in an area.
ここで、\(\xi\) が 1 つだけ存在し、それが連続的な固有値を持つ場合を考えてみましょう。\(\alpha\) の代表は \(\langle\xi^\prime|\alpha|\xi^{\prime\prime}\rangle\) となり、連続的に変化する 2 つの変数 \(\xi^\prime\) と \(\xi^{\prime\prime}\) の関数となります。このような関数を「行列」と呼ぶのは便利ですが、この言葉を一般化した意味で用いることで、離散的な場合と連続的な場合に同じ用語を使用できるようになります。もちろん、このような一般化された行列は、通常の行列のように 2 次元配列として書き表すことはできません。なぜなら、その行と列の数は直線上の点の数に等しい無限大であり、その要素の数も領域内の点の数に等しい無限大だからです。
We arrange our definitions concerning these generalized matrices
so that the rules (i)-(v) which we had above for the discrete case
hold also for the continuous case. The unit operator is represented
by \(\delta(\xi^\prime - \xi^{\prime\prime})\) and the generalized matrix formed by these elements
we define to be the unit matrix. We still have equation (41) as the
condition for a to be real and we define the generalized matrix formed
by the elements \(\langle\xi^\prime|\alpha|\xi^{\prime\prime}\rangle\) to be Hermitian when it satisfies this
condition. \(\xi\) is represented by
これらの一般化行列に関する定義を整理し、離散ケースで上で述べた規則(i)～(v)が連続ケースにも成り立つようにします。単位作用素は\(\delta(\xi^\prime - \xi^{\prime\prime})\)で表され、これらの要素によって形成される一般化行列を単位行列と定義します。aが実数であるための条件として式(41)が依然として存在し、要素\(\langle\xi^\prime|\alpha|\xi^{\prime\prime}\rangle\)によって形成される一般化行列がこの条件を満たすとき、エルミート行列であると定義します。\(\xi\)は次のように表されます。
\[
\langle\xi^\prime|\xi|\xi^{\prime\prime}\rangle = \xi^\prime\delta(\xi^\prime - \xi^{\prime\prime}) \tag{45}
\]
and \(f(\xi)\) by
そして\(f(\xi)\)を
\[
\langle\xi^\prime|f(\xi)|\xi^{\prime\prime}\rangle = f(\xi^\prime)\delta(\xi^\prime - \xi^{\prime\prime}) \tag{46}
\]
and the generalized matrices formed by these elements we define to be
diagonal matrices. From (11), we could equally well have \(\xi^{\prime\prime}\) and \(f(\xi^{\prime\prime})\) as the coefficients of \(\delta(\xi^\prime - \xi^{\prime\prime})\) on the right-hand sides of (45) and (46)
respectively. Corresponding to equation (44) we now have, from (24)
そして、これらの要素によって形成される一般化行列を対角行列と定義する。(11)式から、(45)式と(46)式の右辺において、それぞれ\(\delta(\xi^\prime - \xi^{\prime\prime})\)の係数として\(\xi^{\prime\prime}\)と\(f(\xi^{\prime\prime})\)を同様に用いることができる。式(44)に対応する式は、(24)式から次の式を得る。
\[
\langle\xi^\prime|\alpha\beta|\xi^{\prime\prime}\rangle = \int \langle\xi^\prime|\alpha|\xi^{\prime\prime\prime}\rangle d\xi^{\prime\prime\prime}\langle\xi^{\prime\prime\prime}|\beta|\xi^{\prime\prime}\rangle \tag{47}
\]
with an integral instead of a sum, and we define the generalized
matrix formed by the elements on the right-hand side here to be the
product of the matrices formed by \(\langle\xi^\prime|\alpha|\xi^{\prime\prime}\rangle\) and \(\langle\xi^\prime|\beta|\xi^{\prime\prime}\rangle\). With
these definitions we secure complete parallelism between the discrete
and continuous cases and we have the rules (i)-(v) holding for both.
和の代わりに積分を用い、ここで右辺の要素によって形成される一般化行列を、\(\langle\xi^\prime|\alpha|\xi^{\prime\prime}\rangle\) と \(\langle\xi^\prime|\beta|\xi^{\prime\prime}\rangle\) によって形成される行列の積として定義します。これらの定義により、離散ケースと連続ケースの完全な平行性が確保され、どちらにも規則 (i)～(v) が成立します。
The question arises how a general diagonal matrix is to be defined
in the continuous case, as so far we have only defined the right-hand
sides of (45) and (46) to be examples of diagonal matrices. One
might be inclined to define as diagonal any matrix whose \((\xi^\prime,\xi^{\prime\prime})\)
elements all vanish except when \(\xi^\prime\) differs infinitely little from \(\xi^{\prime\prime}\),
but this would not be satisfactory, because an important property
of diagonal matrices in the discrete case is that they always commute
with one another and we want this property to hold also in the
continuous case. In order that the matrix formed by the elements
\(\langle\xi^\prime|\omega|\xi^{\prime\prime}\rangle\) in the continuous case may commute with that formed by
the elements on the right-hand side of (45) we must have, using the
multiplication rule (47),
これまでは(45)と(46)の右辺のみを対角行列の例として定義してきたが、連続行列の場合に一般対角行列をどのように定義するかという疑問が生じる。\((\xi^\prime,\xi^{\prime\prime})\)要素が、\(\xi^\prime\)と\(\xi^{\prime\prime}\)の差が無限に小さい場合を除いてすべてゼロになるような行列を対角行列と定義したくなるかもしれないが、これでは不十分である。なぜなら、離散行列の場合の対角行列の重要な性質は、それらが常に互いに可換であることであり、この性質が連続行列の場合にも成り立つようにしたいからである。連続の場合の要素\(\langle\xi^\prime|\omega|\xi^{\prime\prime}\rangle\)によって形成される行列が、(45)の右辺の要素によって形成される行列と可換となるためには、乗法則(47)を用いて、
\[
\int\langle\xi^\prime|\omega|\xi^{\prime\prime\prime}\rangle d\xi^{\prime\prime\prime}\xi^{\prime\prime\prime}\delta(\xi^{\prime\prime\prime} - \xi^{\prime\prime})=\int\xi^\prime\delta(\xi^\prime - \xi^{\prime\prime\prime}) d\xi^{\prime\prime\prime}\langle\xi^{\prime\prime\prime}|\omega|\xi^{\prime\prime}\rangle
\]
With the help of formula (4), this reduces to
式(4)を用いると、これは次のように帰着する。
\[
\langle\xi^\prime|\omega|\xi^{\prime\prime\prime}\rangle d\xi^{\prime\prime\prime} \xi^{\prime\prime\prime} = \xi^\prime\langle\xi^\prime|\omega|\xi^{\prime\prime}\rangle \tag{48}
\]
or
または
\[
(\xi^\prime - \xi^{\prime\prime})\langle\xi^\prime|\omega|\xi^{\prime\prime}\rangle = 0
\]
This gives, according to the rule by which (13) follows from (12),
これは、(13)が(12)から導かれる規則に従って、
\[
\langle\xi^\prime|\omega|\xi^{\prime\prime}\rangle = c^\prime\delta(\xi^\prime - \xi^{\prime\prime})
\]
where \(c^\prime\) is a number that may depend on \(\xi^\prime\). Thus \(\langle\xi^\prime|\omega|\xi^{\prime\prime}\rangle\) is of the
form of the right-hand side of (46). For this reason we define only
matrices whose elements are of the form of the right-hand side of (46) to
be diagonal mairices. It is easily verified that these matrices all
commute with one another. One can form other matrices whose
\((\xi^\prime,\xi^{\prime\prime})\) elements all vanish when \(\xi^\prime\) differs appreciably from \(\xi^{\prime\prime}\) and
have a different form of singularity when \(\xi^\prime\) equals \(\xi^{\prime\prime}\) [we shall later
introduce the derivative \(\delta^\prime(x)\) of the \(\delta\) function and \(\delta^\prime(\xi^\prime - \xi^{\prime\prime})\) will
then be an example, see §22 equation (19)], but these other matrices
are not diagonal according to the definition.
ここで、\(c^\prime\) は \(\xi^\prime\) に依存する数である。したがって、\(\langle\xi^\prime|\omega|\xi^{\prime\prime}\rangle\) は(46)の右辺の形をとる。このため、要素が(46)の右辺の形をとる行列のみを対角行列と定義する。これらの行列はすべて互いに可換であることは容易に検証できる。 \(\xi^\prime\) が \(\xi^{\prime\prime}\) とかなり異なるときに \((\xi^\prime,\xi^{\prime\prime})\) 要素がすべてゼロになるような他の行列を形成することもできますが、\(\xi^\prime\) が \(\xi^{\prime\prime}\) に等しいときに異なる形の特異点を持ちます [後で \(\delta\) 関数の導関数 \(\delta^\prime(x)\) を導入し、\(\delta^\prime(\xi^\prime - \xi^{\prime\prime})\) が
その例になります。§22 式 (19) を参照]。しかし、これらの他の行列は定義によれば対角行列ではありません。
Let us now pass on to the case when there is only one \(\xi\) and it has
both discrete and continuous eigenvalues. Using \(\xi^r,\xi^s\) to denote
discrete eigenvalues and \(\xi^\prime,\xi^{\prime\prime}\) to denote continuous eigenvalues, we now have the representative of \(\alpha\) consisting of four kinds of quantities, \(\langle\xi^r|\alpha|\xi^s\rangle, \langle\xi^r|\alpha|\xi^\prime\rangle, \langle\xi^\prime|\alpha|\xi^r\rangle, \langle\xi^\prime|\alpha|\xi^{\prime\prime}\rangle\). These quantities can all
be put together and considered to form a more general kind of matrix
having some discrete rows and columns and also a continuous range
of rows and columns. We define unit matrix, Hermitian matrix,
diagonal matrix, and the product of two matrices also for this more
general kind of matrix so as to make the rules (i)-(v) still hold. The
details are a straightforward generalization of what has gone before
and need not be given explicitly.
次に、\(\xi\) が1つしか存在せず、それが離散固有値と連続固有値の両方を持つ場合を考えてみましょう。離散固有値を\(\xi^r,\xi^s\)、連続固有値を\(\xi^\prime,\xi^{\prime\prime}\)で表すと、\(\alpha\)の表現は4種類の量\(\langle\xi^r|\alpha|\xi^s\rangle, \langle\xi^r|\alpha|\xi^\prime\rangle, \langle\xi^\prime|\alpha|\xi^{\prime\prime}\rangle\)で構成されることがわかります。これらの量はすべてまとめて、より一般的な種類の行列を形成するものとみなすことができます。これは、離散的な行と列、そして連続的な範囲の行と列を持つものです。このより一般的な種類の行列に対しても、単位行列、エルミート行列、対角行列、そして2つの行列の積を定義し、規則(i)～(v)が依然として成立するようにします。詳細はこれまで述べたことをそのまま一般化したものであり、明示的に示す必要はありません。
Let us now go back to the general case of several \(\xi\)'s, \(\xi_1,\xi_2,...,\xi_u\).
The representative of \(\alpha\), expression (39), may still be looked upon as
forming a matrix, with rows corresponding to different values of
\(\xi_1^\prime,...,\xi_u^\prime\) and columns corresponding to different values of \(\xi_1^{\prime\prime},...,\xi_u^{\prime\prime}\).
Unless all the \(\xi\)'s have discrete eigenvalues, this matrix will be of the
generalized kind with continuous ranges of rows and columns. We
again arrange our definitions so that the rules (i)-(v) hold, with rule
(iv) generalized to:
さて、複数の \(\xi\)、\(\xi_1,\xi_2,...,\xi_u\) の一般的なケースに戻りましょう。
\(\alpha\) の代表である式 (39) は、依然として行列を形成していると見なすことができます。行は \(\xi_1^\prime,...,\xi_u^\prime\) の異なる値に対応し、列は \(\xi_1^{\prime\prime},...,\xi_u^{\prime\prime}\) の異なる値に対応します。
すべての \(\xi\) が離散的な固有値を持たない限り、この行列は行と列が連続する範囲を持つ一般化された種類のものになります。
ここでも、規則 (i)-(v) が成り立つように定義を整理し、規則 (iv) を次のように一般化します。
(iv') Each \(\xi_m\;(m = 1,2,...,u)\) and any function of them is repre-
sented by a diagonal matrix.
(iv') 各\(\xi m\;(m = 1,2,...,u)\)とその関数は対角行列によって表される。
A diagonal matrix is now defined as one whose general element
\(\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\omega|\xi_1^{\prime\prime}...\xi_u^{\prime\prime}\rangle\) is of the form
対角行列は、一般元\(\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\omega|\xi_1^{\prime\prime}...\xi_u^{\prime\prime}\rangle\)が次の形式である行列として定義される。
\[
\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\omega|\xi_1^{\prime\prime}...\xi_u^{\prime\prime}\rangle =
c^\prime\delta_{\xi_1^\prime\xi_1^{\prime\prime}}..\delta_{\xi_v^\prime\xi_v^{\prime\prime}}\delta(\xi_{v+1}^\prime - \xi_{v+1}^{\prime\prime}..\delta(\xi_u^\prime - \xi_u^{\prime\prime}) \tag{49}
\]
in the case when \(xi_1,...,\xi_v\) have discrete eigenvalues and \(\xi_{v+1},...,\xi?u\) have
continuous eigenvalues, \(c^\prime\) being any function of the \(\xi^\prime\)'s. This defini-
tion is the generalization of what we had with one \(\xi\) and makes
diagonal matrices always commute with one another. The other
definitions are straightforward and need not be given explicitly.
\(xi_1,...,\xi_v\) が離散固有値を持ち、\(\xi_{v+1},...,\xi?u\) が連続固有値を持ち、\(c^\prime\) が \(\xi^\prime\) の任意の関数である場合。この定義は、1 つの \(\xi\) の場合の定義を一般化したものであり、対角行列は常に互いに可換となる。その他の定義は単純であり、明示的に与える必要はない。
We now have a linear operator always represented by a matrix.
The sum of two linear operators is represented by the sum of the
matrices representing the operators and this, together with rule (v),
means that the matrices are subject to the same algebraic relations as
the linear operators. If any algebraic equation holds between certain
linear operators, the same equation must hold between the matrices
representing those operators.
これで、線形作用素は常に行列で表されるようになりました。2つの線形作用素の和は、それらの作用素を表す行列の和で表されます。これは、規則(v)と合わせて、行列が線形作用素と同じ代数関係に従うことを意味します。ある線形作用素間に代数方程式が成り立つ場合、それらの作用素を表す行列間にも同じ方程式が成り立つ必要があります。
The scheme of matrices can be extended to bring in the repre-
sentatives of ket and bra vectors. The matrices representing linear
operators are all square matrices with the same number of rows and
columns, and with, in fact, a one-one correspondence between their
rows and columns. We may look upon the representative of a ket
\(|P\rangle\) as a matrix with a single column by setting all the numbers
\(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|P\rangle\) which form this representative one below the other. The number of rows in this matrix will be the same as the number of
rows or columns in the square matrices representing linear operators.
Such a single-column matrix can be multiplied on the left by a square
matrix \(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\alpha|\xi_1^{\prime\prime}...\xi_u^{\prime\prime}\rangle\) representing a linear operator, by a rule
similar to that for the multiplication of two square matrices. The
product is another single-column matrix with elements given by
行列の体系は、ケットベクトルとブラベクトルの代表値を導入するように拡張できます。線型作用素を表す行列はすべて、行数と列数が等しい正方行列であり、行と列は実際には1対1で対応しています。ケットの代表値
\(|P\rangle\) を、この代表値を構成するすべての数値
\(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|P\rangle\) を上下に並べることで、1列の行列と見なすことができます。この行列の行数は、線型作用素を表す正方行列の行数または列数と同じになります。このような1列行列の左側に、線形作用素を表す正方行列 \(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\alpha|\xi_1^{\prime\prime}...\xi_u^{\prime\prime}\rangle\) を乗じることができる。この乗算の規則は、2つの正方行列の乗算の規則に似ている。この乗算は、次の要素を持つ別の1列行列となる。
\[
\sum_{\xi_1^{\prime\prime}..\xi_v^{\prime\prime}} \int \cdots \int \langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\alpha|\xi_1^{\prime\prime}...\xi_u^{\prime\prime}\rangle d\xi_{v+1}^{\prime\prime}..d\xi_u^{\prime\prime}\langle\xi_1^{\prime\prime}...\xi_u^{\prime\prime}|P\rangle
\]
From (35) this is just equal to \(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\alpha|P\rangle\), the. representative of \(\alpha|P\rangle\). Similarly we may look upon the representative of a bra \(\langle Q|\) as a matrix with a single row by setting all the numbers \(\langle Q|\xi_1^\prime...\xi_u^\prime\rangle\) side by side. Such a single-row matrix may be multiplied on the
right by a square matrix \(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\alpha|\xi_1^{\prime\prime}...\xi_u^{\prime\prime}\rangle\), the product being another
single-row matrix, which is just the representative of \(\langle Q|\alpha\). The
single-row matrix representing \(\langle Q|\) may be multiplied on the right
by the single-column matrix representing \(|P\rangle\), the product being a
matrix with just a single element, which is equal to \(\langle Q|P\rangle\). Finally,
the single-row matrix representing \(\langle Q|\) may be multiplied on the left
by the single-column matrix representing \(|P\rangle\), the product being a
square matrix, which is just the representative of \(|P\rangle\langle Q|\). In this
way all our abstract symbols, linear operators, bra vectors, and ket
vectors, can be represented by matrices, which are subject to the
same algebraic relations as the abstract symbols themselves.
(35) から、これは \(\alpha|P\rangle\) の代表である \(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\alpha|P\rangle\) にちょうど等しい。同様に、すべての数 \(\langle Q|\xi_1^\prime...\xi_u^\prime\rangle\) を並べて設定することにより、ブラの代表 \(\langle Q|\) を 1 行の行列と見ることができる。このような 1 行の行列は、右側に正方行列 \(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\alpha|\xi_1^{\prime\prime}...\xi_u^{\prime\prime}\rangle\) を掛け合わせることができ、その積は別の 1 行の行列となり、まさに \(\langle Q|\alpha\) の代表となる。 \(\langle Q|\) を表す単行行列は、右側で \(|P\rangle\) を表す単列行列と乗算することができ、その積は単一の要素を持つ行列となり、\(\langle Q|P\rangle\) に等しくなります。最後に、\(\langle Q|\) を表す単行行列は、左側で \(|P\rangle\) を表す単列行列と乗算することができ、その積は \(|P\rangle\langle Q|\) そのものを表す正方行列となります。このように、すべての抽象記号、線形作用素、ブラベクトル、ケットベクトルは、抽象記号自体と同じ代数関係に従う行列で表すことができます。
Representations are of great importance in the physical interpreta-
tion of quantum mechanics as they provide a convenient method for
obtaining the probabilities of observables having given values. In
§12 we obtained the probability of an observable having any speci-
fied value for a given state and in §13 we generalized this result
and obtained the probability of a set of commuting observables
simultaneously having specified values for a given state. Let us now
apply this result to a complete set of commuting observables, say the
set of \(xi\)'s which we have been dealing with already. According to
formula (51) of §13, the probability of each \(xi_r\) having the value \(\xi_r^\prime\)
for the state corresponding to the normalized ket vector \(|x\rangle\) is
表現は量子力学の物理的解釈において非常に重要である。なぜなら、表現はオブザーバブルが与えられた値を持つ確率を得るための簡便な方法を提供するからである。§12では、オブザーバブルが与えられた状態において任意の特定の値を持つ確率を得、§13ではこの結果を一般化し、可換なオブザーバブルの集合が与えられた状態において同時に特定の値を持つ確率を得た。ここで、この結果を可換なオブザーバブルの完全な集合、例えば既に扱ってきた\(xi\)の集合に適用してみよう。§13の式(51)によれば、正規化されたケットベクトル\(|x\rangle\)に対応する状態において、各\(xi_r\)が値\(\xi_r^\prime\)を持つ確率は、
\[
P_{\xi_1^\prime...\xi_u^\prime} = \langle x|\delta_{\xi_1\xi_1^\prime}\delta_{\xi_2\xi_2^\prime}...\delta_{\xi_u\xi_u^\prime}|x\rangle \tag{50}
\]
If the \(\xi\)'s all have discrete eigenvalues, we can use (35) with \(v = u\)
and no integrals, and get
\(\xi\)がすべて離散的な固有値を持つ場合、\(v = u\)と積分なしで(35)式を使用して、
\[
\begin{align}
P_{\xi_1^\prime...\xi_u^\prime} &= \sum_{xi_1^{\prime\prime}...\xi_u^{\prime\prime}} \langle x|\delta_{\xi_1\xi_1^\prime}\delta_{\xi_2\xi_2^\prime}...\delta_{xi_u\xi_u^\prime}|\xi_1^{\prime\prime}...\xi_u^{\prime\prime}\rangle\langle\xi_1^{\prime\prime}...\xi_u^{\prime\prime}|x\rangle \\
\\
&=\sum_{\xi_1^{\prime\prime}...\xi_u^{\prime\prime}} \langle x|\delta_{x_1^{\prime\prime}\xi_1^\prime}\delta_{x_2^{\prime\prime}\xi_2^\prime}...\delta_{\xi_u^{\prime\prime}\xi_u^\prime}|\xi_1^{\prime\prime}...\xi_u^{\prime\prime}\rangle\langle\xi_1^{\prime\prime}...\xi_u^{\prime\prime}|x\rangle \\
\\
&= \langle x|\xi_1^\prime...\xi_u^\prime\rangle\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|x\rangle \\
\\
&= |\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|x\rangle|^2 \tag{51}
\end{align}
\]
We thus get the simple result that the probability of the \(\xi\)'s having the
values \(\xi^\prime\) is just the square of the modulus of the appropriate coordinate
of the normalized ket vector corresponding to the state concerned.
したがって、\(\xi\) が \(\xi^\prime\) の値を持つ確率は、関係する状態に対応する正規化されたケットベクトルの適切な座標の絶対値の2乗に等しいという単純な結果が得られます。
If the \(\xi\)'s do not all have discrete eigenvalues, but if, say, \(\xi_1,...,\xi_v\)
have discrete eigenvalues and \(\xi_{v+1},...,\xi_u\) have continuous eigenvalues,
then to get something physically significant we must obtain the
probability of each \(\xi_r\;(r = 1,..,v)\) having a specified value \(\xi_r^\prime\) and each
\(\xi_s\; (s = v+1,..,u)\) lying in a specified small range \(\xi_s^\prime\) to \(\xi_s^\prime+d\xi_s^\prime\). For
this purpose we must replace each factor \(delta_{\xi_s\xi_s^\prime}\) in (50) by a factor \(\chi_s\),
which is that function of the observable \(\xi_s\) which is equal to unity
for \(\xi_s\) within the range \(\xi_s^\prime\) to \(\xi_s+d\xi_s^\prime\) and zero otherwise. Proceeding
as before with the help of (35), we obtain for this probability.
\(\xi\) がすべて離散固有値を持つわけではなく、例えば \(\xi_1,...,\xi_v\) が離散固有値を持ち、\(\xi_{v+1},...,\xi_u\) が連続固有値を持つ場合、物理的に意味のある結果を得るためには、各 \(\xi_r\;(r = 1,..,v)\) が特定の値 \(\xi_r^\prime\) を持ち、各 \(\xi_s\; (s = v+1,..,u)\) が特定の小さな範囲 \(\xi_s^\prime\) から \(\xi_s^\prime+d\xi_s^\prime\) にある確率を求める必要があります。この目的のために、(50) の各因子 \(delta_{\xi_s\xi_s^\prime}\) を因子 \(\chi_s\) に置き換える必要がある。\(\chi_s\) は、オブザーバブル \(\xi_s\) の関数であり、\(\xi_s^\prime\) から \(\xi_s+d\xi_s^\prime\) の範囲では \(\xi_s\) に対して 1 に等しく、それ以外の場合は 0 に等しい。(35) を用いて前と同じように進めると、この確率について次式が得られる。
\[
P_{\xi_1^\prime..\xi_u^\prime}d\xi_{v+1}^\prime..d\xi_u^\prime = |\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|x\rangle|^2d\xi_{v+1}^\prime..d\xi_u^\prime \tag{52}
\]
Thus in every case the probability distribution of values for the \(\xi\)'s is
given by the square of the modulus of the representative of the norma-
lized ket vector corresponding to the state concerned.
このように、あらゆる場合において、\(\xi\)の値の確率分布は、関係する状態に対応する正規化されたケットベクトルの代表値の係数の2乗によって与えられます。
The numbers which form the representative of a normalized ket
(or bra) may for this reason be called probability amplitudes. ‘The
square of the modulus of a probability amplitude is an ordinary
probability, or a probability per unit range for those variables that
have continuous ranges of values.
正規化されたケット（またはブラ）の代表値を形成する数値は、この理由から確率振幅と呼ばれることがあります。確率振幅の絶対値の2乗は、通常の確率、つまり連続した値の範囲を持つ変数の単位範囲あたりの確率です。
We may be interested in a state whose corresponding ket \(|x\rangle\) cannot
be normalized. This occurs, for example, if the state is an eigenstate
of some observable belonging to an eigenvalue lying in a range of
eigenvalues. The formula (51) or (52) can then still be used to give
the relative probability of the \(\xi\)'s having specified values or having
values lying in specified small ranges, i.e. it will give correctly the
ratios of the probabilities for different \(\xi^\prime\)'s. The numbers \(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|x\rangle\)
may then be called relative probability amplitudes.
対応するケット \(|x\rangle\) が正規化できない状態に興味があるかもしれません。これは、例えば、状態が、ある固有値の範囲内にある固有値に属するあるオブザーバブルの固有状態である場合に発生します。式 (51) または (52) は、\(\xi\) が特定の値を持つ、または特定の小さな範囲内にある値を持つ相対確率を与えるために依然として使用できます。つまり、異なる \(\xi^\prime\) の確率の比を正しく与えます。したがって、数値 \(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|x\rangle\) は相対確率振幅と呼ばれることがあります。
The representation for which the above results hold is characterized
by the basic vectors being simultaneous eigenvectors of all the \(\xi\)'s.
It may also be characterized by the requirement that each of the \(\xi\)'s
shall be represented by a diagonal matrix, this condition being easily
seen to be equivalent to the previous one. The latter characterization
is usually the more convenient one. For brevity, we shall formulate
it as each of the (\xi\)'s “being diagonal in the representation".
上記の結果が成り立つ表現は、基本ベクトルがすべての\(\xi\)の同時固有ベクトルであることによって特徴付けられます。また、各\(\xi\)が対角行列で表される必要があるという要件によっても特徴付けられますが、この条件は前の条件と等価であることは容易にわかります。後者の特徴付けは通常より便利です。簡潔にするために、各\(\xi\)が「表現において対角行列である」と定式化します。
Provided the \(\xi\)'s form a complete set of commuting observables,
the representation is completely determined by the characterization,
apart from arbitrary phase factors in the basic vectors. Each basic bra
\(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\) may be multiplied by \(e^{i\gamma^\prime}\), where \(\gamma^\prime\) is any real function of
the variables \(\xi_1^\prime,...,\xi_u^\prime\), without changing any of the conditions which
the representation has to satisfy, i.e. the condition that the \(\xi\)'s are
diagonal or that the basic vectors are simultaneous eigenvectors of
the \(\xi\)'s, and the fundamental properties of the basic vectors (34) and
(35). With the basic bras changed in this way, the representative
\(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|P\rangle\) of a ket \(|P\rangle\) gets multiplied by \(e^{i\gamma^\prime}\), the representative
\(\langle Q|\xi_1^\prime...\xi_u^\prime\rangle\) of a bra \(\langle Q|\) gets multiplied by \(e^{-i\gamma^\prime}\) and the representa-
tive \(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\alpha|\xi_1^{\prime\prime}...\xi_u^{\prime\prime}\rangle\) of a linear operator \(\alpha\) gets multiplied by \(e^{i(\gamma^\prime-\gamma^{\prime\prime})}\).
The probabilities or relative probabilities (51), (52) are, of course,
unaltered.
\(\xi\) が可換なオブザーバブルの完全な集合を形成すると仮定すると、表現は、基本ベクトルの任意の位相因子を除けば、特性評価によって完全に決定される。各基本ベクトル\(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\) は、\(e^{i\gamma^\prime}\) で乗じることができる。ここで、\(\gamma^\prime\) は、変数 \(\xi_1^\prime,...,\xi_u^\prime\) の任意の実関数である。この乗算によって、表現が満たさなければならない条件、すなわち、\(\xi\) が対角であること、または基本ベクトルが \(\xi\) の同時固有ベクトルであること、および基本ベクトルの基本的性質 (34) と (35) は変更されない。このように基本的なブラ作用素を変更すると、ケット作用素 \(|P\rangle\) の代表値
\(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|P\rangle\) は \(e^{i\gamma^\prime}\) で乗算され、ブラ作用素 \(\langle Q|\xi_1^\prime...\xi_u^\prime\rangle\) の代表値
\(\langle Q|\) は \(e^{-i\gamma^\prime}\) で乗算され、線形作用素 \(\alpha\) の代表値 \(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\alpha|\xi_1^{\prime\prime}...\xi_u^{\prime\prime}\rangle\) は \(e^{i\gamma^\prime}\) で乗算されます。 \(e^{i(\gamma^\prime-\gamma^{\prime\prime})}\).
確率あるいは相対確率(51), (52)は、もちろん変化しません。
The probabilities that one calculates in practical problems in
quantum mechanics are nearly always obtained from the squares
of the moduli of probability amplitudes or relative probability ampli-
tudes. Even when one is interested only in the probability of an
incomplete set of commuting observables having specified values, it
is usually necessary first to make the set a complete one by the
introduction of some extra commuting observables and to obtain
the probability of the complete set having specified values (as the
square of the modulus of a probability amplitude), and then to sum
or integrate over all possible values of the extra observables. A
more direct application of formula (51) of §13 is usually not
practicable.
量子力学の実際的な問題で計算される確率は、ほとんどの場合、確率振幅の絶対値または相対確率振幅の二乗から得られる。可換オブザーバブルの不完全な集合が特定の値を持つ確率だけに関心がある場合でも、通常はまず、いくつかの可換オブザーバブルを追加してその集合を完全な集合にし、その完全な集合が特定の値を持つ確率（確率振幅の絶対値の二乗として）を求め、次に、追加オブザーバブルのすべての可能な値について和または積分を行う必要がある。§13の式（51）をより直接的に適用することは、通常は実行可能ではない。
To introduce a representation in practice
表現を実践的に導入する
The representation is then completely determined except for the
arbitrary phase factors. For most purposes the arbitrary phase
factors are unimportant and trivial, so that we may count the
representation as being completely determined by the observables
that are diagonal in it. This fact is already implied in our notation,
since the only indication in a representative of the representation to
which it belongs are the letters denoting the observables that are
diagonal.
すると、表現は任意の位相因子を除いて完全に決定される。ほとんどの場合、任意の位相因子は重要ではなく自明であるため、表現は、その表現に含まれる対角要素であるオブザーバブルによって完全に決定されるとみなしてもよい。この事実は、我々の表記法に既に暗示されている。なぜなら、表現において、それが属する表現を示す唯一の指標は、対角要素であるオブザーバブルを表す文字だからである。
It may be that we are interested in two representations for the
same dynamical system. Suppose that in one of them the complete
set of commuting observables \(\xi_1,...,\xi_u\) are diagonal and the basic
bras are \(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\) and in the other the complete set of commuting
observables \(\eta_1,...,\eta_w\) are diagonal and the basic bras are \(\langle\eta_1^\prime...\eta_w^\prime|\).
A ket \(|P\rangle\) will now have the two representatives \(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|P\rangle\) and
\(\langle\eta_1^\prime...\eta_w^\prime|P\rangle\). If \(\xi_1,...,\xi_v\) have discrete eigenvalues and \(\xi_{v+1},...,\xi_u\) have
continuous eigenvalues and if \(\eta_1,...,\eta_x\) have discrete eigenvalues and
\(\eta_{x+1},...,\eta_w\) have continuous eigenvalues, we get from (35)
同じ力学系に対する2つの表現に興味があるかもしれません。一方において、可換オブザーバブル \(\xi_1,...,\xi_u\) の完全な集合が対角行列であり、基本ブラ行列が \(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\) であるとし、もう一方において、可換オブザーバブル \(\eta_1,...,\eta_w\) の完全な集合が対角行列であり、基本ブラ行列が \(\langle\eta_1^\prime...\eta_w^\prime|\) であるとします。ケット \(|P\rangle\) には、2つの代表値 \(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|P\rangle\) と
\(\langle\eta_1^\prime...\eta_w^\prime|P\rangle\) が含まれる。\(\xi_1,...,\xi_v\) が離散固有値を持ち、\(\xi_{v+1},...,\xi_u\) が連続固有値を持ち、\(\eta_1,...,\eta_x\) が離散固有値を持ち、\(\eta_{x+1},...,\eta_w\) が連続固有値を持つ場合、(35) から次式が得られる。
\[
\langle\eta_1^\prime...\eta_w^\prime|P\rangle = \sum_{\xi_1^\prime..\xi_v^\prime} \int \cdots \int \langle\eta_1^\prime...\eta_w^\prime|\xi_1^\prime...\xi_u^\prime\rangle d\xi_{v+1}^\prime..d\xi_u^\prime\langle\xi_1^\prime..\xi_u^\prime|P\rangle \tag{53}
\]
and interchanging \(\xi\)'s and \(\eta\)'s
\(\xi\)と\(\eta\)を入れ替えると
\[
\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|P\rangle = \sum_{\eta_1^\prime..\eta_x^\prime} \int \cdots \int \langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\eta_1^\prime...\eta_w^\prime\rangle d\eta_{x+1}^\prime..d\eta_w^\prime\langle\eta_1^\prime..\eta_w^\prime|P\rangle \tag{54}
\]
These are the transformation equations which give one representative
of \(|P\rangle\) in terms of the other. They show that either representative
is expressible linearly in terms of the other, with the quantities
これらは、\(|P\rangle\) の一方の表現を他方の表現で与える変換方程式です。これらの方程式は、どちらの表現も他方の表現で線形表現可能であることを示しています。
\[
\langle\eta_1^\prime...\eta_w^\prime|\xi_1^\prime...\xi_u^\prime\rangle, \langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\eta_1^\prime...\eta_w^\prime\rangle \tag{55}
\]
as coefficients. These quantities are called the transformation func-
tions. Similar equations may be written down to connect the two
representatives of a bra vector or of a linear operator. The trans-
formation functions (55) are in every case the means which enable
one to pass from one representative to the other. Each of the
transformation functions is the conjugate complex of the other, and
they satisfy the conditions
係数としてこれらの量は変換関数と呼ばれる。ブラベクトルまたは線型作用素の2つの代表値を結び付ける同様の式を書き下すことができる。変換関数(55)は、いずれの場合も、一方の代表値から他方の代表値へ移ることを可能にする手段である。それぞれの変換関数は他方の共役複素数であり、以下の条件を満たす。
\[
\sum_{\xi_1^\prime..\xi_v^\prime} \int \cdots \int \langle\eta_1^\prime...\eta_w^\prime|\xi_1^\prime...\xi_u^\prime\rangle d\xi_{v+1}^\prime..d\xi_u^\prime \langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\eta_1^{\prime\prime}...\eta_w^{\prime\prime}\rangle
\]
\[
=\delta_{\eta_1^\prime\eta_1^{\prime\prime}}..\delta_{\eta_x^\prime\eta_x^{\prime\prime}}\delta(\eta_{x+1}^\prime - \eta_{x+1}^{\prime\prime})..\delta(\eta_w^\prime - \eta_w^{\prime\prime}) \tag{56}
\]
and the corresponding conditions with \(\xi\)'s and \(\eta\)'s interchanged, as
may be verified from (35) and (34) and the corresponding equations
for the \(\eta\)'s.
また、\(\xi\)と\(\eta\)を入れ替えた対応する条件は、(35)と(34)、および\(\eta\)の対応する式から確認できます。
Transformation functions are examples of probability amplitudes
or relative probability amplitudes. Let us take the case when all the
\(\xi\)'s and all the \(\eta\)'s have discrete eigenvalues. Then the basic ket
\(|\eta_1^\prime...\eta_w^\prime\rangle\) is normalized, so that its representative in the \(\xi\)-representation, \(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\eta_1^\prime...\eta_w^\prime\rangle\), is a probability amplitude for each set of values
for the \(\xi^\prime\)'s. The state to which these probability amplitudes refer,
namely the state corresponding to \|\eta_1^\prime...\eta_w^\prime\rangle\), is characterized by the
condition that a simultaneous measurement of \(\eta_1,...,\eta_w\) is certain to
lead to the results \(\eta_1^\prime,...,\eta_w^\prime\). Thus \(|\langle\xi_1^\prime...\xi_i^\prime|\eta_1^\prime...\eta_w^\prime\rangle|^2\) is the proba-
bility of the \(\xi\)'s having the values \(\xi_1^\prime...\xi_u^\prime\) for the state for which the
\(\eta\)'s certainly have the values \(\eta_1^\prime...\eta_w^\prime\). Since
変換関数は確率振幅、あるいは相対確率振幅の例です。すべての\(\xi\)とすべての\(\eta\)が離散固有値を持つ場合を考えてみましょう。この場合、基本ケット\(|\eta_1^\prime...\eta_w^\prime\rangle\)は正規化され、\(\xi\)表現におけるその代表値である\(\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\eta_1^\prime...\eta_w^\prime\rangle\)は、\(\xi^\prime\)の各値集合に対する確率振幅となります。これらの確率振幅が示す状態、すなわち\|\eta_1^\prime...\eta_w^\prime\rangle\)に対応する状態は、\(\eta_1,...,\eta_w\)を同時に測定すると必ず\(\eta_1^\prime,...,\eta_w^\prime\)という結果が得られるという条件によって特徴付けられます。したがって、\(|\langle\xi_1^\prime...\xi_i^\prime|\eta_1^\prime...\eta_w^\prime\rangle|^2\)は、\(\eta\)が確実に\(\eta_1^\prime...\eta_w^\prime\)の値をとる状態において、\(\xi\)が\(\xi_1^\prime...\xi_u^\prime\)の値をとる確率である。
\[
|\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\eta_1^\prime...\eta_w^\prime\rangle|^2 = |\langle\eta_1^\prime...\eta_w^\prime|\xi_1^\prime...\xi_u^\prime\rangle|^2
\]
we have the theorem of reciprocity—the probability of the \(\xi\)'s having
the values \(\xi^\prime\) for the state for which the \(\eta\)'s certainly have the values \(\eta^\prime\)
is equal to the probability of the \(\eta\)'s having the values \(\eta^\prime\) for the state for
which the \(\xi\)'s certainly have the values \(\xi^\prime\).
相互性の定理が成り立ちます。つまり、\(\eta\) が確実に \(\eta^\prime\) の値をとる状態において、\(\xi\) が \(\xi^\prime\) の値をとる確率は、\(\xi\) が確実に \(\xi^\prime\) の値をとる状態において、\(\eta\) が \(\eta^\prime\) の値をとる確率に等しいということです。
If all the \(\eta\)'s have discrete eigenvalues and some of the \(\xi\)'s have
continuous eigenvalues, \(|\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\eta_1^\prime...\eta_w^\prime\rangle|^2\) still gives the probability
distribution of values for the \(\xi\)'s for the state for which the \(\eta\)'s cer-
tainly have the values \(\eta^\prime\). If some of the \(\eta\)'s have continuous eigen-
values, \(|\eta_1^\prime...\eta_w^\prime\rangle\) is not normalized and \(|\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\eta_1^\prime...\eta_w^\prime\rangle|^2\) then gives
only the relative probability distribution of values for the \(\xi\)'s for the
state for which the \(\eta\)'s certainly have the values \(\eta^\prime\).
すべての \(\eta\) が離散固有値を持ち、一部の \(\xi\) が連続固有値を持つ場合でも、\(|\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\eta_1^\prime...\eta_w^\prime\rangle|^2\) は、\(\eta\) が確実に \(\eta^\prime\) の値を持つ状態における \(\xi\) の値の確率分布を与えます。いくつかの \(\eta\) が連続した固有値を持つ場合、\(|\eta_1^\prime...\eta_w^\prime\rangle\) は正規化されず、\(|\langle\xi_1^\prime...\xi_u^\prime|\eta_1^\prime...\eta_w^\prime\rangle|^2\) は、\(\eta\) が確実に \(\eta^\prime\) の値を持つ状態における \(\xi\) の値の相対確率分布のみを与えます。
We shall illustrate the mathematical value of representations by
using them to prove some theorems.
表現を使っていくつかの定理を証明することで、表現の数学的価値を説明します。
THEOREM 1, A linear operator that commutes with an observable \(\xi\)
commutes also with any function of \(\xi\).
定理1 オブザーバブル\(\xi\)と可換な線型作用素は、\(\xi\)の任意の関数とも可換である。
The theorem is obviously true when the function is expressible as
a power series. To prove it generally, let \(\omega\) be the linear operator,
so that we have the equation
この定理は、関数が冪級数として表現できる場合、明らかに成り立ちます。これを一般に証明するために、\(\omega\)を線型演算子とすると、次の式が得られます。
\[
\xi\omega - \omega\xi = 0 \tag{57}
\]
Let us introduce a representation in which \(\xi\) is diagonal. If \(\xi\) by
itself does not form a complete commuting set of observables, we must
make it into a complete commuting set by adding certain observables,
\(\beta\) say, to it, and then take the representation in which \(\xi\) and the \(\beta\)'s
are diagonal. (The case when \(\xi\) does form a complete commuting set
by itself can be looked upon as a special case of the preceding one
with the number of \(\beta\) variables zero.) In this representation equation
(57) becomes
\(\xi\) が対角となる表現を導入しよう。\(\xi\) がそれ自体ではオブザーバブルの完全可換集合を形成しない場合、特定のオブザーバブル、例えば \(\beta\) を加えて完全可換集合とし、\(\xi\) と \(\beta\) が対角となる表現をとる。（\(\xi\) がそれ自体で完全可換集合を形成する場合は、\(\beta\) 変数の数がゼロである前述の表現の特別なケースと見なすことができる。）この表現において、式(57) は次のようになる。
\[
\langle\xi^\prime\beta^\prime|\xi\omega - \omega\xi|\xi^{\prime\prime}\beta^{\prime\prime}\rangle = 0
\]
which reduces to
これは次のように要約される。
\[
\xi^\prime\langle\xi^\prime\beta^\prime|\omega|\xi^{\prime\prime}\beta^{\prime\prime}\rangle-\langle\xi^\prime\beta^\prime|\omega|\xi^{\prime\prime}\beta^{\prime\prime}\rangle\xi^{\prime\prime} = 0
\]
In the case when the eigenvalues of \(\xi\) are discrete, this equation
shows that all the matrix elements \(\langle\xi^\prime\beta^\prime|\omega|\xi^{\prime\prime}\beta^{\prime\prime}\rangle\) of \(\omega\) vanish except
those for which \(\xi^\prime = \xi^{\prime\prime}\). In the case when the eigenvalues of \(\xi\) are
continuous it shows, like equation (48), that \(\langle\xi^\prime\beta^\prime|\omega|\xi^{\prime\prime}\beta^{\prime\prime}\rangle\) is of the form
\(\xi\) の固有値が離散的な場合、この式は、\(\omega\) のすべての行列要素 \(\langle\xi^\prime\beta^\prime|\omega|\xi^{\prime\prime}\beta^{\prime\prime}\rangle\) が、\(\xi^\prime = \xi^{\prime\prime}\ となる要素を除いてゼロになることを示しています。\(\xi\) の固有値が連続的な場合、式 (48) と同様に、\(\langle\xi^\prime\beta^\prime|\omega|\xi^{\prime\prime}\beta^{\prime\prime}\rangle\) は次の形式になります。
\[
\langle\xi^\prime\beta^\prime|\omega|\xi^{\prime\prime}\beta^{\prime\prime}\rangle = c\delta(\xi^\prime - \xi^{\prime\prime})
\]
where \(c\) is some function of \(\xi^\prime\) and the \(\beta^\prime\)'s and \(\beta^{\prime\prime}\)'s. In either case
we may say that the matrix representing \(\omega\)is diagonal with respect
to \(\xi^\prime\). Tf \(f(\xi)\) denotes any function of \(\xi\) in accordance with the general
theory of §11, which requires \(f(\xi^{\prime\prime\prime})\) to be defined for \(\xi^{\prime\prime\prime}\) any eigenvalue
of \(\xi\), we can deduce in either case
ここで、\(c\) は \(\xi^\prime\) と \(\beta^\prime\) および \(\beta^{\prime\prime}\) の関数である。どちらの場合も、\(\omega\) を表す行列は \(\xi^\prime\) に関して対角行列であると言える。\(f(\xi)\) は、§11 の一般理論に従って \(\xi\) の任意の関数を表す。§11 では、\(\xi\) の任意の固有値 \(\xi^{\prime\prime\prime}\) に対して \(f(\xi^{\prime\prime\prime})\) が定義される必要があるが、どちらの場合も次のように導出できる。
\[
f(\xi^\prime)\langle\xi^\prime\beta^\prime|\omega|\xi^{\prime\prime}\beta^{\prime\prime}\rangle-\langle\xi^\prime\beta^\prime|\omega|\xi^{\prime\prime}\beta^{\prime\prime}\rangle f(\xi^{\prime\prime})=0
\]
This gives
これにより
\[
\langle\xi^\prime\beta^\prime|f(\xi)\omega-\omega f(\xi)|\xi^{\prime\prime}\beta^{\prime\prime}\rangle = 0
\]
so that
となることによって
\[
f(\xi)\omega-\omega f(\xi) = 0
\]
and the theorem is proved.
そして定理は証明された。
As a special case of the theorem, we have the result that any
observable that commutes with an observable \(\xi\) also commutes with
any function of \(\xi\). This result appears as a physical necessity when
we identify, as in §13, the condition of commutability of two
observables with the condition of compatibility of the correspond-
ing observations. Any observation that is compatible with the
measurement of an observable \(\xi\) must also be compatible with the
measurement of \(f(\xi)\), since any measurement of \(\xi\) includes in itself
a measurement of \(f(\xi)\).
定理の特別な場合として、オブザーバブル \(\xi\) と可換な任意のオブザーバブルは、\(\xi\) の任意の関数とも可換であるという結果が得られる。この結果は、§13 で述べたように、2 つのオブザーバブルの可換性の条件を、対応するオブザーバブルの適合性の条件と同一視するときに、物理的な必然性として現れる。オブザーバブル \(\xi\) の測定と適合する任意のオブザーバブルは、\(f(\xi)\) の測定とも適合しなければならない。なぜなら、\(\xi\) の任意の測定は、それ自体に \(f(\xi)\) の測定を含むからである。
THEOREM 2. A linear operator that commutes with each of a complete
set of commuting observables is a function of those observables.
定理2. 可換なオブザーバブルの完全な集合の各々と可換な線型作用素は、それらのオブザーバブルの関数である。
Let \(\omega\) be the linear operator and \(\xi_1,\xi_2,...,\xi_u\) the complete set of
commuting observables, and set up a representation with these
observables diagonal. Since \(\omega\) commutes with each of the &'s, the
matrix representing it is diagonal with respect to each of the \(\xi\)'s,
by the argument we had above. This matrix is therefore a diagonal
matrix and is of the form (49), involving a number \(c^\prime\) which is a
function of the \(\xi^\prime\)'s. It thus represents the function of the \(\xi\)'s that
\(c^\prime\) is of the \(\xi^\prime\)'s, and hence w equals this function of the \(\xi\)'s.
\(\omega\) を線型作用素、\(\xi_1,\xi_2,...,\xi_u\) を可換なオブザーバブルの完全な集合とし、これらのオブザーバブルを対角行列とする表現を設定する。\(\omega\) は各 & と可換であるため、それを表す行列は、上記の議論により、各 \(\xi\) に関して対角行列となる。したがって、この行列は対角行列であり、(49) の形式をとり、\(c^\prime\) という数を含む。これは \(\xi^\prime\) の関数である。したがって、これは \(c^\prime\) が \(\xi^\prime\) の関数であることを表すので、w はこの \(\xi\) の関数に等しい。
THEOREM 3. If an observable \(\xi\) and a linear operator \(g\) are such that
any linear operator that commutes with \(\xi\) also commutes with \(g\), then \(g\)
is a function of \(\xi\).
定理3. オブザーバブル \(\xi\) と線型作用素 \(g\) が、\(\xi\) と可換な任意の線型作用素が \(g\) とも可換であるような場合、\(g\) は \(\xi\) の関数である。
This is the converse of Theorem 1. To prove it, we use the same
representation with \(\xi\) diagonal as we had for Theorem 1. In the first
place, we see that \(g\) must commute with \(\xi\) itself, and hence the
representative of \(g\) must be diagonal with respect to \(\xi\), i.e. it must
be of the form
これは定理1の逆です。これを証明するために、定理1で用いたのと同じ\(\xi\)対角表現を用います。まず、\(g\)は\(\xi\)自身と可換でなければならないため、\(g\)の表現は\(\xi\)に関して対角でなければならない、つまり、次の形式でなければならないことがわかります。
\[
\langle\xi^\prime\beta^\prime|g|\xi^{\prime\prime}\beta^{\prime\prime}\rangle = a(\xi^\prime\beta^\prime\beta^{\prime\prime})\delta_{\xi^\prime\xi^{\prime\prime}} or a(\xi^\prime\beta^\prime\beta^{\prime\prime})\delta(\xi^\prime - \xi^{\prime\prime})
\]
according to whether \(\xi\) has discrete or continuous eigenvalues. Now
let \(\omega\) be any linear operator that commutes with \(\xi\), so that its
representative is of the form
\(\xi\) が離散固有値を持つか連続固有値を持つかによって決まる。
\(\omega\) を \(\xi\) と可換な任意の線型作用素とすると、その代表値は次のようになる。
\[
\langle^xi^\prime\beta^\prime|\omega|\xi^{\prime\prime}\beta^{\prime\prime}\rangle = b(\xi^\prime\beta^\prime\beta^{\prime\prime})\delta_{\xi^\prime\xi^{\prime\prime}} or b(\xi^\prime\beta^\prime\beta^{\prime\prime})\delta(\xi^\prime - \xi^{\prime\prime})
\]
By hypothesis \(\omega\) must also commute with \(g\), so that
仮定により\(\omega\)は\(g\)とも可換である必要があるので、
\[
\langle\xi^\prime\beta^\prime|g\omega - \omega g|\xi^{\prime\prime}\beta^{\prime\prime}\rangle = 0 \tag{58}
\]
If we suppose for definiteness that the \(\beta\)'s have discrete eigenvalues,
(58) leads, with the help of the law of matrix multiplication, to
明確にするために\(\beta\)が離散的な固有値を持つと仮定すると、(58)は行列の乗法則を用いて次のように表される。
\[
\sum_{\beta^{\prime\prime\prime}} \{a(\xi^\prime\beta^\prime\beta^{\prime\prime\prime})b(\xi^\prime\beta^{\prime\prime\prime}\beta^{\prime\prime})-b(\xi^\prime\beta^\prime\beta^{\prime\prime\prime}a(\xi^\prime\beta^{\prime\prime\prime}\beta^{\prime\prime})\}=0 \tag{59}
\]
the left-hand side of (58) being equal to the left-hand side of (59)
multiplied by \(\delta_{\xi^\prime\xi^{\prime\prime}}\) or \(\delta(\xi^\prime - \xi^{\prime\prime})\). Equation (59) must hold for all
functions \(b(\xi^\prime\beta^\prime\beta^{\prime\prime})\). We can deduce that
(58) 式の左辺は、(59) 式の左辺に \(\delta_{\xi^\prime\xi^{\prime\prime}}\) または \(\delta(\xi^\prime - \xi^{\prime\prime})\) を乗じたものに等しい。式 (59) はすべての関数 \(b(\xi^\prime\beta^\prime\beta^{\prime\prime})\) に対して成立する必要がある。したがって、
\[
\begin{align}
a(\xi^\prime\beta^\prime\beta^{\prime\prime} &= 0\;for\; \beta^\prime \neq \beta^{\prime\prime} \\
\\
a(\xi^\prime\beta^\prime\beta^\prime) &= a(\xi^\prime\beta^{\prime\prime}\beta^{\prime\prime})
\end{align}
\]
The first of these results shows that the matrix representing \(g\) is
diagonal and the second shows that \(a(\xi^\prime\beta^\prime\beta^\prime)\) is a function of \(\xi^\prime\) only.
We can now infer that \(g\) is that function of \(\xi\) which \(a(\xi^\prime\beta^\prime\beta^\prime)\) is of \(\xi^\prime\),so the theorem is proved. The proof is analogous if some of the \(\beta\)'s
have continuous eigenvalues.
これらの結果のうち最初のものは、\(g\) を表す行列が対角行列であることを示しており、2番目の結果は、\(a(\xi^\prime\beta^\prime\beta^\prime)\) が \(\xi^\prime\) のみの関数であることを示しています。
これで、\(g\) は \(a(\xi^\prime\beta^\prime\beta^\prime)\) が \(\xi^\prime\) のみの関数であるような \(\xi\) の関数であると推論できるため、定理は証明されました。\(\beta\) の一部が連続した固有値を持つ場合も、証明は同様です。
THEOREM 1 and 3 are still valid if we replace the observable \(\xi\) by
any set of commuting observables \(\xi_1,\xi_2,...,\xi_r,\) only formal changes
being needed in the proofs.
定理1と定理3は、オブザーバブル\(\xi\)を任意の可換オブザーバブル集合\(\xi_1,\xi_2,...,\xi_r,\)に置き換えても有効であり、証明においては形式的な変更のみが必要である。
The theory of representations that we have developed provides a
general system for labelling kets and bras. Ina representation in which
the complete set of commuting observables \(\xi_1,...,\xi_u\) are diagonal any
ket \(|P\rangle\) will have a representative \(\langle\xi_1^\prime...\xi_n^\prime|P\rangle\), or \(\langle\xi^\prime|P\rangle\) for brevity.
This representative is a definite function of the variables \(\xi^\prime\), say \(\psi(\xi^\prime)\).
The function \(\psi\) then determines the ket \(|P\rangle\) completely, so it may be
used to label this ket, to replace the arbitrary label \(P\). In symbols,
我々が開発した表現理論は、ケットとブラにラベルを付ける一般的なシステムを提供する。可換なオブザーバブル \(\xi_1,...,\xi_u\) の完全な集合が対角となる表現では、任意のケット \(|P\rangle\) は代表値 \(\langle\xi_1^\prime...\xi_n^\prime|P\rangle\)、あるいは簡潔に \(\langle\xi^\prime|P\rangle\) を持つ。
この代表値は変数 \(\xi^\prime\) の定関数であり、例えば \(\psi(\xi^\prime)\) となる。
関数 \(\psi\) はケット \(|P\rangle\) を完全に決定するので、このケットにラベルを付ける際に、任意のラベル \(P\) を置き換えるために使用できる。記号では、
\[
\left.
\begin{align}
if \langle\xi^\prime|P\rangle &= \psi(\xi^\prime) \\
\\
we\; put |P\rangle &= |\psi(\xi)\rangle
\end{align}
\right\} \tag{60}
\]
We must put \(|P\rangle\) equal to \(|\psi(\xi)\rangle\) and not \(|\psi(\xi^\prime)\rangle\), since it does not depend on a particular set of eigenvalues for the \(\xi\)'s, but only on the
form of the function \(\psi\).
\(|P\rangle\) は \(|\psi(\xi)\rangle\) と等しくなければならず、\(|\psi(\xi^\prime)\rangle\) とは等しくしてはいけません。なぜなら、\(|\psi(\xi\) の特定の固有値セットには依存せず、関数 \(\psi\) の形にのみ依存するからです。
With \(f(\xi)\) any function of the observables \(\xi_1,...,\xi_u, f(\xi)|P\rangle\) will
have as its representative
\(f(\xi)\) を用いると、オブザーバブルの任意の関数 \(\xi_1,...,\xi_u, f(\xi)|P\rangle\) は
その代表として
\[
\langle\xi^\prime|f(\xi)|P\rangle = f(\xi^\prime)\psi(\xi^\prime)
\]
Thus according to (60) we put
したがって（60）によれば、
\[
f(\xi|P\rangle = |f(\xi)\psi(\xi)\rangle
\]
With the help of the second of equations (60) we now get
式（60）の2番目の式を利用すると、
\[
f(\xi)|\psi(\xi)\rangle = |f(\xi)\psi(\xi)\rangle \tag{61}
\]
This is a general result holding for any functions \(f\) and \(\psi\) of the \(\xi\)'s,
and it shows that the vertical line \(|\) is not necessary with the new
notation for a ket — either side of (61) may be written simply as
\(f(\xi)\psi(\xi)\rangle\). Thus the rule for the new notation becomes:—
これは、\(\xi\)の任意の関数\(f\)と\(\psi\)に当てはまる一般的な結果であり、ケットの新しい表記では垂直線\(|\)は不要であることを示しています。(61)のどちらの辺も単に\(f(\xi)\psi(\xi)\rangle\)と書くことができます。したがって、新しい表記の規則は次のようになります。
\[
\left.
\begin{align}
if \langle\xi^\prime|P\rangle &= \psi(\xi^\prime) \\
\\
we\; put |P\rangle &= \psi(\xi)\rangle
\end{align}
\right\} \tag{62}
\]
We may further shorten \(\psi(\xi)\rangle\) to \(\psi\rangle\), leaving the variables \(\xi\) under-
stood, if no ambiguity arises thereby.
曖昧さが生じない場合は、変数 \(\xi\) を理解したまま、\(\psi(\xi)\rangle\) を \(\psi\rangle\) とさらに短縮することもできます。
The ket \(\psi(\xi)\rangle\) may be considered as the product of the linear
operator \(\psi(\xi\) with a ket which is denoted simply by \(\rangle\) without a
label. We call the ket \(\rangle\) the standard ket. Any ket whatever can be
expressed as a function of the \(\xi\)'s multiplied into the standard ket.
For example, taking \(|P\rangle\) in (62) to be the basic ket \(|\xi^{\prime\prime}\rangle\), we find
ケット \(\psi(\xi)\rangle\) は、線形演算子 \(\psi(\xi\) と、ラベルなしで単に \(\rangle\) と表記されるケットとの積として考えることができる。このケット \(\rangle\) を標準ケットと呼ぶ。あらゆるケットは、標準ケットに \(\xi\) を乗じた関数として表すことができる。例えば、(62) の \(|P\rangle\) を基本ケット \(|\xi^{\prime\prime}\rangle\) とすると、
\[
|\xi^{\prime\prime}\rangle = \delta_{\xi_1\xi^{\prime\prime}}..\delta_{\xi_v\xi_v^{\prime\prime}}\delta(\xi_{v+1} - \xi_{v+1}^{\prime\prime})..\delta(\xi_u - \xi_u^{\prime\prime})\rangle \tag{63}
\]
in the case when \(\xi_1,..,\xi_v\) have discrete eigenvalues and \(\xi_{v+1},..,\xi_u\) have
continuous eigenvalues. The standard ket is characterized by the
condition that its representative \(\langle\xi^\prime|\rangle\) is unity over the whole domain
of the variable \(\xi^\prime\), as may be seen by putting \(\psi = 1\) in (62).
\(\xi_1,..,\xi_v\) が離散固有値を持ち、\(\xi_{v+1},..,\xi_u\) が連続固有値を持つ場合である。標準ケットは、その代表値 \(\langle\xi^\prime|\rangle\) が変数 \(\xi^\prime\) の定義域全体にわたって 1 であるという条件によって特徴付けられる。これは、(62) に \(\psi = 1\) を代入すればわかる。
A further contraction may be made in the notation, namely to leave the symbol \(\rangle\) for the standard ket understood. A ket is then written simply as \(\psi(\xi)\), a function of the observables \(\xi\). A function of the \(\xi\)'s used in this way to denote a ket is called a wave function.† The system of notation provided by wave functions is the one usually used by most authors for calculations in quantum mechanics. In using it one should remember that each wave function is understood to have the standard ket multiplied into it on the right, which prevents one from multiplying the wave function by any operator on the right. Wave functions can be multiplied by operators only on the left. This distinguishes them from ordinary functions of the &'s, which are operators and can be multiplied by operators on either the left or the right. A wave function is just the representative of a ket expressed as a function of the observables \(\xi\), instead of eigenvalues \(\xi^\prime\) for those observables. The square of its modulus gives the proba- bility (or the relative probability, if it is not normalized) of the \(\xi\)'s having specified values, or lying in specified small ranges, for the corresponding state.
† The reason for this name is that in the early days of quantum mechanics all the examples of these functions were of the form of waves. The name is not a descriptive one from the point of view of the modern general theory.
表記法をさらに簡略化して、標準ケットを表す記号 \(\rangle\) を残すこともできます。この場合、ケットは単に \(\psi(\xi)\) と書き、オブザーバブル \(\xi\) の関数となります。このようにケットを表すために使用される \(\xi\) の関数は、波動関数と呼ばれます。†
波動関数によって提供される表記法は、量子力学の計算においてほとんどの著者が通常使用するものです。この表記法を使用する際には、各波動関数は標準ケットが右側に乗じられているものと理解され、右側の演算子を波動関数に乗じることができないことを覚えておく必要があります。波動関数は左側の演算子のみと乗じることができます。この点が、通常の関数の & と区別されます。& は演算子であり、左側と右側のどちらにも演算子を乗じることができます。波動関数とは、ケットをオブザーバブル\(\xi\)の関数として表現したものに過ぎず、オブザーバブルの固有値\(\xi^\prime\)として表現したものではありません。その係数の2乗は、対応する状態において、\(\xi\)が特定の値を持つ、または特定の狭い範囲内にある確率（正規化されていない場合は相対確率）を与えます。
† この名前の由来は、量子力学の初期においては、これらの関数の例はすべて波の形をとっていたからです。この名前は、現代の一般理論の観点からは、説明的なものではありません。
The new notation for bras may be developed in the same way as
for kets. A bra \(\langle Q|\) whose representative \(\langle Q|\xi^\prime\rangle\) is \(\phi(\xi^\prime)\) we write \(\langle\phi(\xi)|\). With this notation the conjugate imaginary to \(|\psi(\xi)\rangle\) is
\(\langle\overline{\psi}(\xi)|\). Thus the rule that we have used hitherto, that a ket and
its conjugate imaginary bra are both specified by the same label,
must be extended to read—if the labels of a ket involve complex
numbers or complex functions, the labels of the conjugate imaginary
bra involve the conjugate complex numbers or functions. As in the
case of kets we can show that \(\langle\phi(\xi)|f(\xi)\) and \(\langle\phi(\xi)f(\xi)|\) are the same,
so that the vertical line can be omitted. We can consider \(\langle\phi(xi)\) as
the product of the linear operator \(\phi(\xi)\) into the standard bra \(\langle\), which
is the conjugate imaginary of the standard ket \(\rangle\). We may leave
the standard bra understood, so that a general bra is written as \(\phi(\xi)\),
the conjugate complex of a wave function. The conjugate complex
of a wave function can be multiplied by any linear operator on the
right, but cannot be multiplied by a linear operator on the left. We
can construct triple products of the form \(\langle f(\xi)\rangle\). Such a triple product
is a number, equal to \(f(\xi)\) summed or integrated over the whole
domain of eigenvalues for the \(\xi\)'s,
ブラの新しい表記法は、ケットの場合と同じ方法で開発できます。ブラ \(\langle Q|\) の代表 \(\langle Q|\xi^\prime\rangle\) が \(\phi(\xi^\prime)\) である場合、\(\langle\phi(\xi)|\) と書きます。この表記法では、\(|\psi(\xi)\rangle\) の共役虚数は
\(\langle\overline{\psi}(\xi)|\) です。したがって、これまで使用してきた、ケットとその共役虚数ブラは同じラベルで指定されるという規則は、ケットのラベルに複素数または複素関数が含まれる場合、共役虚数ブラのラベルにも共役複素数または複素関数が含まれるというように拡張する必要があります。ケットの場合と同様に、\(\langle\phi(\xi)|f(\xi)\) と \(\langle\phi(\xi)f(\xi)|\) は同じであることが示せるので、垂直線は省略できます。\(\langle\phi(xi)\) は、線形演算子 \(\phi(\xi)\) と標準ブラ \(\langle\) の積と考えることができます。これは、標準ケット \(\rangle\) の共役虚数です。標準ブラは理解したままにして、一般的なブラは \(\phi(\xi)\)、つまり波動関数の共役複素数と書きます。波動関数の共役複素数は、右側の任意の線形演算子と乗算できますが、左側の線形演算子と乗算することはできません。\(\langle f(\xi)\rangle\) という形式の三重積を作成できます。このような三重積は、\(\xi\)の固有値の全領域にわたって\(f(\xi)\)を合計または積分したものに等しい数である。
\[
\langle f(\xi)\rangle = \sum_{\xi_1^\prime..\xi_v^\prime} \int \cdots \int f(\xi^\prime) d\xi_{v+1}^\prime..d\xi_u^\prime \tag{64}
\]
in the case when \(\xi_1,...,\xi_u\) have discrete eigenvalues and \(\xi_{v+1},...,\xi_u\) have
continuous eigenvalues.
\(\xi_1,...,\xi_u\) が離散固有値を持ち、\(\xi_{v+1},...,\xi_u\) が連続固有値を持つ場合。
The standard ket and bra are defined with respect to a representa-
tion. If we carried through the above work with a different repre-
sentation in which the complete set of commuting observables \(\eta\) are
diagonal, or if we merely changed the phase factors in the representa-
tion with the \(\xi\)'s diagonal, we should get a different standard ket and
bra. In a piece of work in which more than one standard ket or bra
appears one must, of course, distinguish them by giving them labels.
標準ケットとブラは、表現に関して定義されます。可換オブザーバブル \(\eta\) の完全な集合が対角線となるような異なる表現を用いて上記の研究を進めた場合、あるいは、\(\xi\) の対角線を持つ表現における位相因子を単に変更しただけの場合、異なる標準ケットとブラが得られるはずです。複数の標準ケットまたはブラが出現する研究では、当然のことながら、ラベルを付けてそれらを区別する必要があります。
A further development of the notation which is of great importance
for dealing with complicated dynamical systems will now be discussed.
Suppose we have a dynamical system describable in terms of dynami-
cal variables which can all be divided into two sets, set \(A\) and set \(B\)
say, such that any member of set \(A\) commutes with any member of
set \(B\). A general dynamical variable must be expressible as a function
of the \(A\)-variables and \(B\)-variables together. We may consider
another dynamical system in which the dynamical variables are the
\(A\)-variables only—let us call it the \(A\)-system. Similarly we may
consider a third dynamical system in which the dynamical variables
are the \(B\)-variables only—the \(B\)-system. The original system can
then be looked upon as a combination of the \(A\)-system and the
\(B\)-system in accordance with the mathematical scheme given below.
複雑な力学系を扱う上で非常に重要な記法の更なる発展について論じる。
例えば、集合 \(A\) と集合 \(B\) という二つの集合に分割可能な力学変数で記述可能な力学系があるとする。この場合、集合 \(A\) の任意の要素は集合 \(B\) の任意の要素と可換となる。一般的な力学変数は、\(A\)-変数と \(B\)-変数の両方の関数として表現可能でなければならない。力学変数が \(A\)-変数のみである別の力学系を考える。これを \(A\)-システムと呼ぶことにする。同様に、力学変数が \(B\)-変数のみである第三の力学系を考える。これを \(B\)-システムと呼ぶ。元のシステムは、以下に示す数学的スキームに従って、\(A\)-システムと\(B\)-システムの組み合わせと見なすことができます。
Let us take any ket \(|a\rangle\) for the \(A\)-system and any ket \(|b\rangle\) for the
\(B\)-system. We assume that they have a product \(|a\rangle |b\rangle\) for which
the commutative and distributive axioms of multiplication hold, i.e.
\(A\)-システムの任意のケット \(|a\rangle\) と \(B\)-システムの任意のケット \(|b\rangle\) を取ります。これらのケットには積 \(|a\rangle |b\rangle\) があり、乗法の交換公理と分配公理が成り立つと仮定します。つまり、
\[
\begin{align}
|a\rangle|B\rangle &= |b\rangle|a\rangle \\
\\
\{c_1|a_1\rangle + c_2|a_2\rangle\}|b\rangle &= c_1|a_1\rangle|b\rangle+c_2|a_2\rangle|b\rangle \\
\\
|a\rangle\{c_1|b_1\rangle+c_2|b_2\rangle\} &= c_1|a\rangle|b_1\rangle+c_2|a\rangle|b_2\rangle
\end{align}
\]
the \(c\)'s being numbers. We can give a meaning to any \(A\)-variable
operating on the product \(|a\rangle|b\rangle\) by assuming that it operates only
on the \(|a\rangle\) factor and commutes with the \(|b\rangle\) factor, and similarly
we can give a meaning to any \(B\)-variable operating on this product
by assuming that it operates only on the \(|b\rangle\) factor and commutes
with the \(|a\rangle\) factor. (This makes every \(A\)-variable commute with
every \(B\)-variable.) Thus any dynamical variable of the original
system can operate on the product \(|a\rangle|b\rangle\), so this product can be
looked upon as a ket for the original system, and may then be
written \(|ab\rangle\), the two labels a and 6b being sufficient to specify it.
In this way we get the fundamental equations
\(c\)は数値です。積\(|a\rangle|b\rangle\)に作用する任意の\(A\)変数は、\(|a\rangle\)因子にのみ作用し、\(|b\rangle\)因子と交換可能であると仮定することで、意味を与えることができます。同様に、この積に作用する任意の\(B\)変数は、\(|b\rangle\)因子にのみ作用し、\(|a\rangle\)因子と交換可能であると仮定することで、意味を与えることができます。 （これにより、すべての \(A\)-変数はすべての \(B\)-変数と可換になります。）したがって、元のシステムの任意の動的変数は積 \(|a\rangle|b\rangle\) に作用できるため、この積は元のシステムのケットと見なすことができ、\(|ab\rangle\) と表記できます。2つのラベル a と 6b で十分に特定できます。
このようにして、基本方程式が得られます。
\[
|a\rangle|b\rangle = |b\rangle|a\rangle = |ab\rangle \tag{65}
\]
The multiplication here is of quite a different kind from any that
occurs earlier in the theory. The ket vectors \(|a\rangle\) and \(|b\rangle\) are in two
different vector spaces and their product is in a third vector space,
which may be called the product of the two previous vector spaces.
The number of dimensions of the product space is equal to the
product of the number of dimensions of each of the factor spaces.
A general ket vector of the product space is not of the form (65), but
is a sum or integral of kets of this form.
ここでの乗算は、理論のこれまでの部分で行われる乗算とは全く異なる種類のものである。ケットベクトル \(|a\rangle\) と \(|b\rangle\) は2つの異なるベクトル空間に存在し、それらの積は3つ目のベクトル空間に存在する。この3つ目のベクトル空間は、前の2つのベクトル空間の積とも言える。積空間の次元数は、各因子空間の次元数の積に等しい。積空間の一般的なケットベクトルは(65)の形ではなく、この形のケットベクトルの和または積分である。
Let us take a representation for the \(A\)-system in which a complete
set of commuting observables \(\xi_A\) of the \(A\)-system are diagonal. We
shall then have the basic-bras \(\langle\xi_A^\prime|\) for the \(A\)-system. Similarly, taking
a representation for the \(B\)-system with the observables \(\xi_B\) diagonal,
we shall have the basic bras \(\langle\xi_B^\prime|\) for the \(B\)-system. The products
\(A\)-系の可換なオブザーバブル \(\xi_A\) の完全な集合が対角線上にあるような表現を \(A\)-系についてとろう。すると、\(A\)-系の基本ブラ \(\langle\xi_A^\prime|\) が得られる。同様に、\(B\)-系の表現をとろう。この場合、オブザーバブル \(\xi_B\) が対角線上にある。すると、\(B\)-系の基本ブラ \(\langle\xi_B^\prime|\) が得られる。積は
\[
\langle\xi_A^\prime|\langle\xi_B^\prime| = \langle\xi_A^\prime\xi_B^\prime| \tag{66}
\]
will then provide the basic bras for a representation for the original
system, in which representation the \(\xi_A^\prime\)'s and the \(\xi_B^\prime\)'s will be diagonal.The \(\xi_A\)'s and \(\xi_B\)'s will together form a complete set of commuting
observables for the original system. From (65) and (66) we get
は、元のシステムの表現のための基本的なブラを与え、その表現では、\(\xi_A^\prime\)と\(\xi_B^\prime\)は対角となる。\(\xi_A\)と\(\xi_B\)は一緒になって、元のシステムの可換なオブザーバブルの完全な集合を形成する。(65)と(66)から、
\[
\langle\xi_A^\prime|a\rangle\langle\xi_B^\prime|b\rangle = \langle\xi_A^\prime\xi_B^\prime|ab\rangle \tag{67}
\]
showing that the representative of \(|ab\rangle\) equals the product of the
representatives of \(a\rangle\) and of \(|b\rangle\) in their respective representations.
\(|ab\rangle\) の代表値は、それぞれの表現における \(a\rangle\) と \(|b\rangle\) の代表値の積に等しいことを示しています。
We can introduce the standard ket, \(\rangle_A\) say, for the \(A\)-system,
with respect to the representation with the \(\xi_A\)'s diagonal, and also
the standard ket \(\rangle_B\) for the \(B\)-system, with respect to the repre-
sentation with the \(\xi_B\)'s diagonal. Their product \(\rangle_A\rangle_B\) is then the
standard ket for the original system, with respect to the representa-
tion with the \(\xi_A\)'s and \(\xi_B\)'s diagonal. Any ket for the original system
may be expressed as
例えば、\(A\)-システムに対して、\(\xi_A\)の対角線を用いた表現に関する標準ケット\(\rangle_A\)を導入し、また\(B\)-システムに対して、\(\xi_B\)の対角線を用いた表現に関する標準ケット\(\rangle_B\)を導入することができる。これらの積\(\rangle_A\rangle_B\)は、\(\xi_A\)と\(\xi_B\)の対角線を用いた表現に関する元のシステムの標準ケットとなる。元のシステムの任意のケットは、次のように表される。
\[
\psi(\xi_A\xi_B)\rangle_A\rangle_B \tag{68}
\]
It may be that in a certain calculation we wish to use a particular
representation for the \(B\)-system, say the above representation with
the \(\xi_B\)'s diagonal, but do not wish to introduce any particular
representation for the \(A\)-system. It would then be convenient to
use the standard ket \(\rangle_B\) for the \(B\)-system and no standard ket for
the A-system. Under these circumstances we could write any ket
for the original system as
ある計算において、\(B\)-系に対して特定の表現、例えば\(\xi_B\)の対角線を用いた上記の表現を用いたいが、\(A\)-系に対しては特別な表現を導入したくない場合がある。その場合、\(B\)-系には標準ケット\(\rangle_B\)を用い、A-系には標準ケットを用いない方が便利である。このような状況下では、元の系の任意のケットを次のように書ける。
\[
|\xi_B\rangle\rangle_B \tag{69}
\]
in which \(|\xi_B\rangle\) is a ket for the \(A\)-system and is also a function of the
\(\xi_B\)'s, i.e. it is a ket for the \(A\)-system for each set of values for the
\(\xi_B\)'s—in fact (69) equals (68) if we take
ここで、\(|\xi_B\rangle\) は \(A\) 系のケットであり、また、\(\xi_B\) の関数でもある。つまり、\(\xi_B\) の各値集合に対して \(A\) 系のケットとなる。実際、(69) は (68) と等しくなる。
\[
|\xi_B\rangle ~ \psi(\xi_A\xi_B)\rangle_A
\]
We may leave the standard ket \(\rangle_B\) in (69) understood, and then we
have the general ket for the original system appearing as \(|\xi_B\rangle\), a ket
for the \(A\)-system and a wave function in the variables \(\xi_B\) of the
\(B\)-system. An example of this notation will be used in §66.
(69) の標準的なケット \(\rangle_B\) を理解した上で残しておけば、元の系の一般ケットは \(|\xi_B\rangle\) として現れ、\(A\) 系のケットと、\(B\) 系の変数 \(\xi_B\) における波動関数が得られる。この表記法の例は §66 で使用される。
The above work can be immediately extended to a dynamical
system describable in terms of dynamical variables which can be
divided into three or more sets \(A,B,C,...\) such that any member of
one set commutes with any member of another. Equation (65) gets
generalized to
上記の研究は、3つ以上の集合 (A, B, C, ...) に分割でき、ある集合の任意の要素が他の集合の任意の要素と交換可能な力学変数で記述可能な力学系に直ちに拡張できる。式 (65) は次のように一般化される。
\[
|a\rangle|b\rangle|c\rangle... = |abc...\rangle
\]
the factors on the left being kets for the component systems and
the ket on the right being a ket for the original system. Equations
(66), (67), and (68) get generalized to many factors in a similar way.
左側の因子は構成システムのケットであり、右側のケットは元のシステムのケットです。式(66)、(67)、(68)は同様の方法で多くの因子に一般化されます。