CH02

Cauchy (1789-1857) is regarded as one of the pioneers of the precision that is characteristic of contemporary mathematics. He wrote:
コーシー（1789-1857）は、現代数学の特徴である精密さの先駆者の一人とみなされています。彼は次のように書いています。

My principal aim has been to reconcile rigor, which I have made a law to myself in my Cours d'analyse, with the simplicity which the direct consideration of infinitely small quantities produces.
私の主な目的は、私が「Cours d'analyse (分析コース)」で自らに課した厳密さと、無限に小さな量を直接考察することで得られる単純さとを調和させることでした。

His method was to consider infinitesimals as being variable quantities that vanish:
彼の方法は、無限小を消滅する可変量とみなすというものだった。

When the successive numerical values of a variable decrease indefinitely so as to be smaller than any given number, this variable becomes what is called infinitesimal, or infinitely small quantity . . . . One says that a variable quantity becomes infinitely small when its value decreases numerically so as to converge to the limit zero.
変数の連続的な数値が、任意の与えられた数値よりも小さくなるように無限に減少すると、この変数は、いわゆる無限小、つまり無限に小さい量になります。変数の量が無限に小さくなるとは、その値が数値的に減少して極限のゼロに収束するときです。

Even today there are textbooks containing statements to the effect that a sequence satisfying
今日でも、次のような記述のある教科書があります。 \[ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}r_n = 0 \] is an infinitesimal, while one satisfying
は無限小であり、 \[ \lim\limits_{n\rightarrow\infty} r_n = \infty \] is an infinitely large magnitude. Can we then construct a number system in which such sequences represent infinitely small and large numbers respectively?
は無限に大きな大きさです。では、このような数列がそれぞれ無限に小さい数と無限に大きい数を表す数体系を構築できるでしょうか？

According to Cauchy, the sequence
コーシーによれば、数列 \[ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4},\cdots \] is an infinitesimal, as is
は無限小であり、 \[ \frac{1}{2},\frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8}, \cdots \] If these represent infinitely small numbers, perhaps we should regard the second as being half the size of the first because it converges twice as quickly? Similarly, the sequences
これらが無限に小さい数を表すのであれば、2番目の数は1番目の数の半分の大きさだとみなすべきではないでしょうか。なぜなら、2倍速く収束するからです。同様に、数列 \[ \begin{align} &1,2,3,4, ... \\ \\ &2,4,6,8, ... \end{align} \] both represent infinitely large magnitudes, and arguably the second is twice as big as the first because it diverges to \(\infty\) twice as quickly. On the other hand, the distinct sequences
どちらも無限大の大きさを表しており、後者は最初のものの2倍の大きさであると言える。なぜなら、\(\infty\)への発散速度が2倍だからである。一方、異なる数列 \[ \begin{align} &1,2,3,4, ... \\ \\ &2,2,3,4, ... \end{align} \] will presumably represent the same infinite number.
おそらく同じ無限数を表すでしょう。

These ideas are attractive because they suggest the possibility of using infinitely small and large numbers as measures of rates of convergence. But in the construction of real numbers out of Cauchy sequences (Section 1.3), all sequences converging to zero are identified with the number zero itself, while diverging sequences have no role to play at all. Clearly then we need a very different kind of equivalence relation among sequences than the one used in Cantor's construction of \(\mathbb{R}\) from \(\mathbb{Q}\).
これらのアイデアは、収束速度の尺度として無限に小さい数や無限に大きい数を使用できる可能性を示唆しているため、魅力的です。しかし、コーシー列から実数を構成する場合（第1.3節）には、ゼロに収束するすべての列はゼロという数と同一視され、発散する列は全く役割を果たしません。したがって、カントールが \(\mathbb{Q}\) から \(\mathbb{R}\) を構成する際に用いたものとは全く異なる種類の数列間の同値関係が必要であることは明らかです。

2.2 Largeness　大きさ

Let \(r = \langle r_1, r_2, r_3, ...\rangle\) and \(s = \langle s_1,s_2, s_3, ...\rangle\) be real-valued sequences. We are going to say that \(r\) and \(s\) are equivalent if they agree at a "large" number of places, i.e., if their agreement set
\(r = \langle r_1, r_2, r_3, ...\rangle\) と \(s = \langle s_1, s_2, s_3, ...\rangle\) を実数値列とする。 \(r\) と \(s\) が「多数」の箇所で一致する場合、つまり、それらの一致集合が \[ E_{rs} = \{n:r_n = S_n\} \] is large in some sense that is to be determined. Whatever "large" means, there are some properties we will want it to have:
何らかの意味で大きいかどうかは未だ定まっていない。「大きい」が何を意味するにせよ、私たちが備えたいと思う特性がいくつかあります。

● \(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ... \}\) must be large, in order to ensure that any sequence will be equivalent to itself.
\(\mathbb{N} = \{1, 2, 3, ... \}\) は、どのシーケンスもそれ自身と等価になることを保証するために、大きくなければなりません。

● Equivalence is to be a transitive relation, so if \(E_{rs}\) and \(E_{st}\) are large, then \(E_{rt}\) must be large. Since \(E_{rs} \cap E_{st} \subseteq E_{rt}\), this suggests the following requirement:
同値性は推移的な関係であるため、\(E_{rs}\) と \(E_{st}\) が大きい場合、\(E_{rt}\) も大きくなければなりません。\(E_{rs} \cap E_{st} \subseteq E_{rt}\) であるため、以下の要件が示唆されます。
- ・If \(A\) and \(B\) are large sets, and \(A \cap B \subseteq C\), then \(C\) is large.
  \(A\) と \(B\) が大きな集合であり、\(A \cap B \subseteq C\) である場合、\(C\) は大きな集合です。
In particular, this entails that if \(A\) and \(B\) are large, then so is their intersection \(A \cap B\), while if \(A\) is large, then so is any of its supersets \(C \supseteq A\).
特に、\(A\) と \(B\) が大きい場合、それらの交差 \(A \cap B\) も大きくなり、\(A\) が大きい場合、その超集合のどれか \(C \supseteq A\) も大きくなる、ということを意味します。

● The empty set \(\emptyset\) is not large, or otherwise by the previous requirement all subsets of \(\mathbb{N}\) would be large, and so all sequences would be equivalent.
空集合 \(\emptyset\) は大きくありません。そうでなければ、前の要件により、\(\mathbb{N}\) のすべての部分集合は大きくなり、したがってすべてのシーケンスは同等になります。

Requiring \(A \cap B\) to be large when \(A\) and \(B\) are large may seem restrictive, but there are natural situations in which all three requirements are fulfilled. One such is when a set \(A \subseteq \mathbb{N}\) is declared to be large if it is cofinite, i.e. its complement \(\mathbb{N}-A\) is finite. This means that \(A\) contains "almost all" or "ultimately all" members of \(\mathbb{N}\). Although this is a plausible notion of largeness, it is not adequate to our needs. The number system we are constructing is to be linearly ordered, and a natural way to do this, in terms of our general approach, is to take the equivalence class of sequence \(r\) to be less than that of \(s\) if the set
\(A\) と \(B\) が大きいときに \(A \cap B\) も大きくなければならないと要求するのは、制約的に思えるかもしれません。しかし、3 つの要件がすべて満たされる自然な状況もあります。そのような状況の 1 つは、集合 \(A \subseteq \mathbb{N}\) が有限集合である場合、つまりその補集合 \(\mathbb{N}-A\) が有限集合である場合です。これは、\(A\) が \(\mathbb{N}\) の「ほぼすべての」または「究極的にすべての」要素を含むことを意味します。これは大きさの概念としては妥当ですが、私たちのニーズには十分ではありません。私たちが構築しようとしている数体系は線形順序付けされており、一般的なアプローチの観点から、これを実現する自然な方法は、集合が\(r\)の同値類よりも小さい場合、\(s\)の同値類\(r\)を\(s\)の同値類よりも小さくすることです。 \[ L_{rs} = \{n: r_n < s_n\} \] is large. But consider the sequences
大きいです。しかし、シーケンスを考慮すると \[ \begin{align} r &= \langle 1,0,1,0,1,0, ... \rangle \\ \\ s &= \langle 0,1,0,1,0,1, ... \rangle \end{align} \] Their agreement set is empty, so they determine distinct equivalence classes, one of which should be less than the other. But \(L_{rs}\) (the even numbers) is the complement of \(L_{sr}\) (the odds), so both are infinite and neither is cofinite. Apparently our definition of largeness is going to require the following condition:
それらの一致集合は空なので、異なる同値類が決定され、一方は他方よりも小さくなるはずです。しかし、\(L_{rs}\) (偶数) は \(L_{sr}\) (奇数) の補数なので、どちらも無限大であり、どちらも有限ではありません。どうやら、私たちの「大きさ」の定義には、以下の条件が必要になるようです。

● For any subset \(A\) of \(\mathbb{N}\), one of \(A\) and \(\mathbb{N}-A\) is large.
\(\mathbb{N}\) の任意の部分集合 \(A\) について、\(A\) と \(\mathbb{N}-A\) のいずれかが大きい。

The other requirements imply that \(A\) and \(\mathbb{N} -A\) cannot both be large, or else \(A \cap (\mathbb{N} -A) = \emptyset\) would be. Thus the large sets are precisely the complements of the ones that are not large. Either the even numbers form a large set or the odd ones do, but they cannot both do so, so which is it to be?
他の要件は、\(A\) と \(\mathbb{N} -A\) が両方とも大きくなることはできない、もしくは \(A \cap (\mathbb{N} -A) = \emptyset\) が大きくなることを意味します。したがって、大きな集合は、大きくない集合の補集合とまったく同じです。偶数か奇数のどちらかが大きな集合を形成しますが、両方がそうなることはできません。では、どちらが大きくなるのでしょうか。

Can there in fact be such a notion of largeness, and if so, how do we show it?
実際にそのような大きさの概念は存在するのでしょうか？もし存在するとしたら、それをどのように示すのでしょうか？

2.3 Filters　フィルター

Let \(I\) be a nonempty set. The power set of \(I\) is the set
\(I\) を空でない集合とする。\(I\) の冪集合は \[ \mathcal{P}(I) = \{A: A \subseteq I\} \] of all subsets of \(I\). A filter on \(I\) is a nonempty collection \(\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(I)\) of subsets of \(I\) satisfying the following axioms:
\(I\) のすべての部分集合の。\(I\) 上のフィルターは、次の公理を満たす \(I\) の部分集合の空でない集合 \(\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(I)\) である。

● Intersections: if \(A, B \in \mathcal{F}\), then \(A \cap B \in \mathcal{F}\).
交差: \(A, B \in \mathcal{F}\) の場合、\(A \cap B \in \mathcal{F}\) となります。

● Supersets: if \(A \in \mathcal{F}\) and \(A \subseteq B \subseteq I\), then \(B \in \mathcal{F}\).
スーパーセット: \(A \in \mathcal{F}\) かつ \(A \subseteq B \subseteq I\) の場合、\(B \in \mathcal{F}\) となります。

Thus to show \(B \in \mathcal{F}\), it suffices to show
したがって、\(B \in \mathcal{F}\) を示すには、 \[ A_1 \cap \cdots \cap A_n \subseteq B \] for some \(n\) and some \(A_1,..., A_n \in \mathcal{F}\).
ある \(n\) とある \(A_1,..., A_n \in \mathcal{F}\) に対して。

A filter \(\mathcal{F}\) contains the empty set \(\emptyset\) iff \(\mathcal{F} = \mathcal{P}(I)\). We say that \(\mathcal{F}\) is proper if \(\emptyset \notin \mathcal{F}\). Every filter contains \(I\), and in fact \(\{I\}\) is the smallest filter on \(I\).
フィルター \(\mathcal{F}\) が空集合 \(\emptyset\) を含む場合、\(\mathcal{F} = \mathcal{P}(I)\) と同値である。\(\emptyset \notin \mathcal{F}\) の場合、\(\mathcal{F}\) は真であると言う。すべてのフィルターは \(I\) を含み、実際 \(\{I\}\) は \(I\) 上の最小のフィルターである。

An ultrafilter is a proper filter that satisfies
ウルトラフィルターとは、

● for any \(A \subseteq I\), either \(A \in \mathcal{F}\) or \(A^c \in \mathcal{F}\), where \(A^c =I-A\).
任意の \(A \subseteq I\) に対して、\(A \in \mathcal{F}\) または \(A^c \in \mathcal{F}\) のいずれかとなり、\(A^c =I-A\) となります。

2.4 Examples of Filters　フィルターの例

(1) \(\mathcal{F}^i = \{A \subseteq I : i \in A\}\) is an ultrafilter, called the principal ultrafilter generated by \(i\). If I is finite, then every ultrafilter on \(I\) is of the form \(\mathcal{F}^i\) for some \(i \in I\), and so is principal.
\(\mathcal{F}^i = \{A \subseteq I : i \in A\}\) は超フィルタであり、\(i\) によって生成される主超フィルタと呼ばれます。I が有限であれば、\(I\) 上のすべての超フィルタは、ある \(i \in I\) に対して \(\mathcal{F}^i\) の形をとり、したがって主超フィルタとなります。

(2) \(\mathcal{F}^{co}= \{A\subseteq I: I-A\; is\; finite\}\) is the cofinite, or Frechet, filter on \(I\), and is proper iff I is infinite. \(\mathcal{F}^{co}\) is not an ultrafilter.
\(\mathcal{F}^{co}= \{A\subseteq I: I-A\; is\; finite\}\) は \(I\) 上のコ有限、またはフレシェフィルターであり、I が無限である場合に限り、真です。\(\mathcal{F}^{co}\) はウルトラフィルターではありません。

(3) If \(\emptyset \neq \mathcal{H} \subseteq \mathcal{P}(I)\), then the filter generated by \(\mathcal{H}\), i.e., the smallest filter on \(I\) including \(\mathcal{H}\), is the collection
\(\emptyset \neq \mathcal{H} \subseteq \mathcal{P}(I)\) の場合、\(\mathcal{H}\) によって生成されるフィルタ、つまり \(\mathcal{H}\) を含む \(I\) 上の最小のフィルタは、集合 \[ \mathcal{F}^{\mathcal{H}} = \{A \subseteq I : A \supseteq B_1 \cap \cdots \cap B_n\; for\; some\; n\; and\ some\; B_i \in \mathcal{H}\} \] (cf. Exercise 2.7(4)). For \(\mathcal{H}=\emptyset\) we put \(\mathcal{F}^{\mathcal{H}}=\{I\}\).
If \(\mathcal{H}\) has a single member \(B\), then \(\mathcal{F}^{\mathcal{H}}=\{A\subseteq I: A \supseteq B\}\), which is called the principal filter generated by \(B\). The ultrafilter \(\mathcal{F}^i\) of Example (1) is the special case of this when \(B = \{i\}\).
（演習2.7(4)を参照）。\(\mathcal{H}=\emptyset\)の場合には、\(\mathcal{F}^{\mathcal{H}}=\{I\}\)とする。
\(\mathcal{H}\)が単一の要素\(B\)を持つ場合、\(\mathcal{F}^{\mathcal{H}}=\{A\subseteq I: A \supseteq B\}\)となり、これは\(B\)によって生成される主フィルタと呼ばれる。例(1)の超フィルタ\(\mathcal{F}^i\)は、\(B = \{i\}\)のときの特別な場合である。

(4) If \(\{\mathcal{F}_x : x \in X\}\) is a collection of filters on \(I\) that is linearly ordered by set inclusion, in the sense that \(\mathcal{F}_x \subseteq \mathcal{F}_y\) or \(\mathcal{F}_y \subseteq \mathcal{F}_x\) for any \(x, y \in X\), then
\(\{\mathcal{F}_x : x \in X\}\) が \(I\) 上のフィルタの集合であり、任意の \(x, y \in X\) に対して \(\mathcal{F}_x \subseteq \mathcal{F}_y\) または \(\mathcal{F}_y \subseteq \mathcal{F}_x\) が成り立つという意味で、集合包含によって線形順序付けられている場合、 \[ \bigcup_{x\in X} \mathcal{F}_x = \{A:\exists x\in X(A\in \mathcal{F}_x)\} \] is a filter on \(I\).
は\(I\)上のフィルターです。

2.5 Facts About Filters　フィルターに関する事実

(1) The filter axioms are equivalent to the requirement that
フィルタ公理は、次の要件と同等である。 \[ A \cup B \in \mathcal{F}\; iff\; A, B \in \mathcal{F} \]

(2) If \(\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(I)\) satisfies the superset axiom, then \(\mathcal{F} \neq \emptyset\) iff \(I \in \mathcal{F}\). Hence \(\{I\} \subseteq \mathcal{F}\) for any filter \(\mathcal{F}\).
\(\mathcal{F} \subseteq \mathcal{P}(I)\) がスーパーセット公理を満たす場合、\(\mathcal{F} \neq \emptyset\) は \(I \in \mathcal{F}\) と等しくなります。したがって、任意のフィルター \(\mathcal{F}\) に対して、\(\{I\} \subseteq \mathcal{F}\) が成立します。

(3) An ultrafilter \(F\) satisfies
超フィルター\(F\)は次式を満たす \[ \begin{array}{r c l} A \cap B \in \mathcal{F} & iff & A \in \mathcal{F}\; and\; B \in \mathcal{F} \\ A \cup B \in \mathcal{F} & iff & A \in E \mathcal{F}\; or\; B \in \mathcal{F} \\ A^c \in \mathcal{F} & iff & A \notin \mathcal{F} \end{array} \]

(4) Let \(\mathcal{F}\) be. an ultrafilter and \(\{A_1, ... , A_n\}\) a finite collection of pairwise disjoint \((A_i \cap A_j = \emptyset)\) sets such that
\(\mathcal{F}\) を超フィルタとし、\(\{A_1, ... , A_n\}\) を互いに素な \((A_i \cap A_j = \emptyset)\) 集合の有限集合とし、 \[ A_1 \cup \cdots \cup A_n \in \mathcal{F} \] Then \(A_i \in \mathcal{F}\) for exactly one \(i\) such that \(1 \leq i \leq n\).

(5) If an ultrafilter contains a finite set, then it contains a one-element set and is principal. Hence a nonrincipal ultrafilter must contain all cofinite sets. This is a critical property used in the construction of infinitesimals and infinitely large numbers (cf. Section 3.8}.
超フィルターが有限集合を含む場合、それは1元集合を含み、主集合となる。したがって、非主超フィルターはすべての余有限集合を含む必要がある。これは無限小数および無限大数の構成において用いられる重要な性質である（3.8節参照）。

(6) \(\mathcal{F}\) is an ultrafilter on \(I\) iff it is a maximal proper filter on \(I\), i.e., a proper filter that cannot be extended to a larger proper filter on \(I\) (cf. Exercise 2.7(5)).
\(\mathcal{F}\) が \(I\) 上の超フィルタである場合と、それが \(I\) 上の最大固有フィルタである場合、すなわち、\(I\) 上のより大きな固有フィルタに拡張できない固有フィルタである場合とで同じ。(演習 2.7(5) を参照)。

(7) A collection \(\mathcal{H} \subseteq \mathcal{P}(I)\) has the finite intersection property, or fip, if the intersection of every nonempty finite subcollection of 1i is nonempty, i.e.,
集合 \(\mathcal{H} \subseteq \mathcal{P}(I)\) が有限交差性、または fip を持つとは、1i のすべての空でない有限部分集合の交差が空でない、つまり、 \[ B_1 \cap \cdots \cap B_n \neq \emptyset \] for any \(n\) and any \(B_1, ... , B_n \in \mathcal{H}\).
Then the filter \(\mathcal{F}^{\mathcal{H}}\) is proper iff \(\mathcal{H}\) has the fip.
任意の \(n\) および任意の \(B_1, ... , B_n \in \mathcal{H}\) に対して。
このとき、フィルタ \(\mathcal{F}^{\mathcal{H}}\) が真である場合と、\(\mathcal{H}\) が fip を持つ場合とで同じ。

(8) If \(\mathcal{H}\) has the fip, then for any \(A \subseteq I\), at least one of the sets \(\mathcal{H} \cup \{A\}\) and \(\mathcal{H} \cup \{A^c\}\) has the fip.
\(\mathcal{H}\) に fip がある場合、任意の \(A \subseteq I\) に対して、集合 \(\mathcal{H} \cup \{A\}\) と \(\mathcal{H} \cup \{A^c\}\) の少なくとも 1 つに fip があります。

2.6 Zorn's Lemma　ゾルンの補題

Fact 2.5(8) suggests a way to construct an ultrafilter: start with a set that has the fip, e.g., \(\{I\}\), and go through all the members \(A\) of \(\mathcal{P}(I)\) in turn, adding whichever of \(A\) and \(A^c\) preserves the fip. This presupposes that there is such a thing as a listing of the members of \(\mathcal{P}(I)\) that could be used to "go through them all in turn"n.
事実2.5(8)は、ウルトラフィルターを構成する方法を示唆している。すなわち、fipを持つ集合（例えば\(\{I\}\)）から始め、\(\mathcal{P}(I)\)のすべての要素\(A\)を順番に調べ、\(A\)と\(A^c\)のうちfipを保存する要素を追加する。これは、\(\mathcal{P}(I)\)の要素のリストのようなものが存在し、それを「順番にすべて調べる」ために使用できることを前提としている。

Now, the assertion that any set can be listed in this way is one of many mathematical statements that are equivalent to the axiom of choice, which asserts that for any given collection of sets there exists a function whose range of values selects a member from each set in the collection. The version of the axiom of choice most used in algebra is Zorn's lemma:
さて、任意の集合をこのように並べることができるという主張は、選択公理と同等の多くの数学的命題の一つです。選択公理とは、任意の集合の集合に対して、その集合内の各集合から要素を選択する値の範囲を持つ関数が存在することを主張するものです。代数学で最もよく使われる選択公理のバージョンは、ツォルンの補題です。

If \((P,\leq)\) is a partially ordered set in which every linearly ordered subset (or "chain") has an upper bound in \(P\), then \(P\) contains a \(\leq\)-maximal element.
\((P,\leq)\) が半順序集合であり、その中のすべての線形順序付けされた部分集合（または「連鎖」）が \(P\) 内に上限を持つ場合、\(P\) には \(\leq\)-最大元が含まれます。

(An element p of a partially ordered set is \(\leq\)-maximal if there is no element \(q\) of \(P\) that is greater than \(p\) in the sense that \(p \leq 1\) and \(p \neq q\).)
（半順序集合の要素 p が \(\leq\)-最大であるとは、\(p \leq 1\) かつ \(p \neq q\) の意味で \(p\) より大きい要素 \(P\) の \(q\) が存在しないことである。）

Here is an outline of how Zorn's lemma can be proven from the assumption that the axiom of choice is true. Let \(f\) be a choice function defined on the collection of all nonempty subsets of \(P\). Thus for each such set \(X\), \(f(X) \in X\). Now begin with the element \(p_0 = f(P)\). If \(p_0\) is maximal, we have the desired conclusion. Otherwise, we use \(f\) to choose an element \(p_1\) that is greater than \(p_0\), i.e., \(p_1 = f(X)\), where \(X=\{x \in P: p_0 \lt x\} \neq \emptyset \). If \(p_1\) is maximal, again we are done. Otherwise we can choose \(p_2\) with \(p_1 < p_2\). If this process repeats denumerably many times, the Pn 's form a chain. By the hypothesis of Zorn's lemma, this chain must then have an upper bound \(p_\omega\), giving
選択公理が真であるという仮定から、ゾルンの補題がどのように証明されるか、その概略を示します。\(f\) を、\(P\) の空でない部分集合全体の集合上で定義された選択関数とします。したがって、そのような集合 \(X\) ごとに、\(f(X) \in X\) が成り立ちます。ここで、要素 \(p_0 = f(P)\) から始めます。\(p_0\) が最大であれば、望ましい結論が得られます。そうでない場合は、\(f\) を使用して、\(p_0\) よりも大きい要素 \(p_1\) を選択します。つまり、\(p_1 = f(X)\) です。ただし、\(X= \{x \in P: p_0 \lt x\} \neq \emptyset\) です。\(p_1\) が最大であれば、ここでも完了です。そうでなければ、\(p_1 \lt p_2\) となる \(p_2\) を選ぶことができます。この過程が可算回数繰り返されると、Pn は連鎖を形成します。ツォルンの補題の仮定により、この連鎖には必ず上界 \(p_\omega\) があり、次のようになります。 \[ p_0 < p_1 < \cdots < p_n < \cdots < p_\omega \] If \(P_\omega\) is maximal, we are done; otherwise there exists \(P_{\omega+l} > P_\omega\) , and so on. Now, this whole construction cannot go on forever, because eventually we will "run out of" elements of \(P\). At some point we must finish with the desired maximal element.
もし\(P_\omega\)が最大であれば、これで終わりです。そうでなければ\(P_{\omega+l} > P_\omega\)が存在する、などなど。さて、この構築は永遠に続くわけではありません。なぜなら、最終的には\(P\)の要素が「尽きる」からです。どこかの時点で、求めている最大要素で終わらせなければなりません。

This argument shows what is going on behind the scenes when Zorn's lemma is applied. Of course the part about running out of elements is vague, and to make it precise we would need to introduce the theory of infinite "ordinal" numbers and "well-orderings" in order to show that we can generate a list of all the elements of P. In many applications, appealing directly to Zorn's lemma itself allows us to avoid such machinery. For example:
この議論は、ゾルンの補題が適用されたときに舞台裏で何が起こっているかを示しています。もちろん、要素が不足するという部分は曖昧であり、それを正確にするためには、無限の「順序」数と「整列」の理論を導入し、P のすべての要素のリストを生成できることを示す必要があります。多くの応用において、ゾルンの補題自体を直接適用することで、そのような仕組みを回避できます。例えば、

Theorem 2.6.1　Any collection of subsets of I that has the finite intersection property can be extended to an ultrafilter on \(I\).
定理2.6.1　有限交差特性を持つIの部分集合の任意の集合は、\(I\)上のウルトラフィルターに拡張できる。

Proof　If \(\mathcal{H}\) has the fip, then the filter \(\mathcal{F}^{\mathcal{H}}\) generated by \(\mathcal{F}\) is proper (2.5(7)). Let \(P\) be the collection of all proper filters on \(I\) that include \(\mathcal{F}^{\mathcal{H}}\), partially ordered by set inclusion \(\subseteq\). Then every linearly ordered subset of \(P\) has an upper bound in \(P\), since by 2.4(4) the union of this chain is in \(P\). Hence by Zorn's lemma \(P\) has a maximal element, which is thereby a maximal proper filter on \(I\) and thus an ultrafilter by 2.5(6).
証明　\(\mathcal{H}\) が fip を持つならば、\(\mathcal{F}\) によって生成されるフィルタ \(\mathcal{F}^{\mathcal{H}}\) は真である(2.5(7))。\(P\) を、\(\mathcal{F}^{\mathcal{H}}\) を含む、\(I\) 上のすべての真フィルタの集合とし、\(\subseteq\) によって部分順序付けする。すると、2.4(4) によりこの連鎖の和集合は\(P\) に含まれるため、\(P\) の線形順序付き部分集合はすべて \(P\) に上界を持つ。したがって、Zorn の補題により、\(P\) は最大元を持ち、それは \(I\) 上の最大真フィルタとなり、2.5(6) により超フィルタとなる。

Corollary 2.6.2 Any infinite set has a nonprincipal ultrafilter on it.
系 2.6.2 任意の無限集合には非主ウルトラフィルターが存在する。

Proof.　If \(I\) is infinite, the cofinite filter \(\mathcal{F}^{co}\) is proper and has the finite intersection property, and so is included in an ultrafilter \(\mathcal{F}\). But for any \(i \in I\) we have \(I - \{i\} \in \mathcal{F}^{co}\), so \(\{i\} \notin \mathcal{F}\), whereas \(\{i\} \in \mathcal{F}^i\). Hence \(\mathcal{F} \neq \mathcal{F}^i\). Thus \(\mathcal{F}\) is non principal.
証明：\(I\) が無限大のとき、コ有限フィルタ \(\mathcal{F}^{co}\) は固有であり、有限交差特性を持つため、超フィルタ \(\mathcal{F}\) に含まれます。しかし、任意の \(i \in I\) に対して、\(I - \{i\} \in \mathcal{F}^{co}\) が成り立ち、\(\{i\} \notin \mathcal{F}\) であるのに対し、\(\{i\} \in \mathcal{F}^i\) です。したがって、\(\mathcal{F} \neq \mathcal{F}^i\) です。したがって、\(\mathcal{F}\) は主フィルタではありません。

This result is the key fact we need to begin our construction of the hyperreal number system. We could have simply taken it as an assumption, but there is insight to be gained in showing how it derives from more general principles like Zorn's lemma. In fact, a deeper set-theoretic analysis proves that there are as many nonprincipal ultrafilters on an infinite set \(I\) as there possibly could be: an ultrafilter is a member of the double power set \(\mathcal{P}(\mathcal{P}(I))\), and there is a one-to-one correspondence between the set of all nonprincipal ultrafilters on \(I\) and \(\mathcal{P}(\mathcal{P}(I))\) itself.
この結果は、超実数系の構築を始めるために必要な重要な事実です。これを単なる仮定として受け入れることもできましたが、ゾルンの補題のようなより一般的な原理からどのように導かれるかを示すことで、洞察が得られます。実際、より深い集合論的分析により、無限集合 \(I\) 上には、存在し得る限り多くの非主ウルトラフィルタが存在することが証明されています。ウルトラフィルタは、二重冪集合 \(\mathcal{P}(\mathcal{P}(I))\) の元であり、\(I\) 上のすべての非主ウルトラフィルタの集合と \(\mathcal{P}(\mathcal{P}(I))\) 自体の間には一対一対応があります。

2.7 Exercises on Filters　フィルターの練習

(1) If \(\emptyset \neq A\subseteq I\), there is an ultrafilter \(\mathcal{F}\) on \(I\) with \(A \in \mathcal{F}\).
\(\emptyset \neq A\subseteq I\) の場合、\(I\) 上に \(A \in \mathcal{F}\) を満たす超フィルタ \(\mathcal{F}\) が存在します。

(2) There exists a nonprincipal ultrafilter on \(\mathbb{N}\) containing the set of even numbers, and another containing the set of odd numbers.
\(\mathbb{N}\) 上には偶数の集合を含む非主ウルトラフィルターが存在し、奇数の集合を含む別の非主ウルトラフィルターが存在する。

(3) An ultrafilter on a finite set must be principal.
有限集合上のウルトラフィルターは主フィルターでなければなりません。

(4) For \(\mathcal{H}\subseteq \mathcal{P}(I)\), let \(\mathcal{F}^{\mathcal{H}}\) be as defined in Example 2.4(3).
\(\mathcal{H}\subseteq \mathcal{P}(I)\)に対して、\(\mathcal{F}^{\mathcal{H}}\)を例2.4(3)で定義されたものと仮定する。
- (i) Show that \(\mathcal{F}^{\mathcal{H}}\) is a filter that includes \(\mathcal{H}\), i.e., \(\mathcal{H}\subseteq \mathcal{F}^{\mathcal{H}}\).
  \(\mathcal{F}^{\mathcal{H}}\) が \(\mathcal{H}\) を含むフィルターであることを示します。つまり、\(\mathcal{H}\subseteq \mathcal{F}^{\mathcal{H}}\) です。
- (ii) Show that \(\mathcal{F}^{\mathcal{H}}\) is included in any other filter that includes \(\mathcal{H}\).
  \(\mathcal{F}^{\mathcal{H}}\) が \(\mathcal{H}\) を含む他の任意のフィルターに含まれることを示します。

(5) Let \(\mathcal{F}\) be a proper filter on \(I\).
\(\mathcal{F}\) を \(I\) 上の適切なフィルターとします。
- (i) Show that \(\mathcal{F}\cup\{A^c\}\) has the finite intersection property iff \(A \notin \mathcal{F}\).
  \(\mathcal{F}\cup\{A^c\}\) が \(A \notin \mathcal{F}\) の有限交差特性を持つことを示します。
- (ii) Use (i) to deduce that \(\mathcal{F}\) is an ultrafilter iff it is a maximal proper filter on \(I\).
  (i) を用いて、\(\mathcal{F}\) がウルトラフィルタである場合と、\(I\) 上の最大固有フィルタである場合を導出します。

2 Large Sets　大きな集合

2.1 Infinitesimals as Variable Quantities　無限小を変数として扱う

2.2 Largeness　大きさ

2.3 Filters　フィルター

2.4 Examples of Filters　フィルターの例

2.5 Facts About Filters　フィルターに関する事実

2.6 Zorn's Lemma　ゾルンの補題

2.7 Exercises on Filters　フィルターの練習

2 Large Sets 大きな集合

2.1 Infinitesimals as Variable Quantities 無限小を変数として扱う

2.2 Largeness 大きさ

2.3 Filters フィルター

2.4 Examples of Filters フィルターの例

2.5 Facts About Filters フィルターに関する事実

2.6 Zorn's Lemma ゾルンの補題

2.7 Exercises on Filters フィルターの練習

2 Large Sets　大きな集合

2.1 Infinitesimals as Variable Quantities　無限小を変数として扱う

2.2 Largeness　大きさ

2.3 Filters　フィルター

2.4 Examples of Filters　フィルターの例

2.5 Facts About Filters　フィルターに関する事実

2.6 Zorn's Lemma　ゾルンの補題

2.7 Exercises on Filters　フィルターの練習