関数 \(w=f(z)\) について, 有限な極限値
\[
\lim\limits_{z\rightarrow z_0}\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}
\]
が存在するとき, \(f(z)\) は \(z_0\) で微分可能 であるといい, この極限値を \(f(z)\) の \(z_0\) における 微分係数 といって, \(f^\prime(z_0)\) と記す。
※ \(h\) は複素数であることに注意。
定義より \(f(z)\) が \(z_0\) で微分可能ならば, \(f(z)\) は \(z_0\) で連続であることは直ちにわかる。
(念のため確認はこちら)
実関数のときとまったく同様に, \(f(z),g(z)\) が \(z_0\) で微分可能ならば
\[
f(z)+g(z), kf(z)\;(kは定数), f(z)g(z), \frac{f(z)}{g(z)}\;(g(z)\neq 0)
\]
も \(z_0\) で微分可能で, これらの微分係数はそれぞれ
\[
f^\prime(z_0)+g^\prime(z_0), kf^\prime(z_0), f^\prime(z_0)g(z_0)+f(z_0)g^\prime(z_0)
\]
\[
\frac{f^\prime(z_0)g(z_0)-f(z_0)g^\prime(z_0)}{\{g(z_0)\}^2}
\]
に等しい。
(確認はこちら)
\(f(z)\) が \(z_0\) で微分可能, \(g(w)\) が \(w_0=f(z_0)\) で微分可能ならば, \(h(z)=g\{f(z)\}\) も \(z_0\) で微分可能で
\[
h^\prime(z_0)=g^\prime(w_0)f^\prime(z_0)
\]
が成り立つ。
(確認はこちら)
領域 \(D\) のすべての点が \(f(z)\) が微分可能のとき, \(f(z)\) は \(D\) で正則 であるという。\(w=f(z)\) が \(D\) で正則のとき, \(D\) の各点 \(z\) にその点おける微分係数 \(f^\prime(z)\) を対応させることにより, \(D\) で定義された 1つの関数 \(f^\prime(z)\) が定まる。この関数を \(f(z)\) の 導関数 という。したがって \[ f^\prime(z)=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}=\lim\limits_{\zeta\rightarrow z}\frac{f(\zeta)-f(z)}{\zeta-z} \tag{1} \] であり, これを \(\displaystyle\frac{dw}{dz}\) とか \(\displaystyle\frac{df(z)}{dz}\) とか \(w^\prime\) などと記す。
1点で正則
\(f(z)\) が1点 \(z_0\) で正則 とは, 適当な \(z_0\) の近傍が存在し, その近傍で \(f(z)\) が正則なことをいう。
※ 1点で微分可能 ⇒ 1点で微分可能の定義の極限が存在する。
1点で正則 ⇒ 1点の近傍内のすべての点で微分可能
(例はこちら)
ⅰ) \(w=c(定数)\Rightarrow w^\prime=0\)
ⅱ) \(w=z^n \Rightarrow w^\prime=nz^{n-1}\;(nは正の整数)\)
解答はこちら。
\(z\neq 0\) のとき, \(w=\displaystyle\frac{1}{z^n}\) に対し \(w^\prime=-\displaystyle\frac{n}{z^{n+1}}\;(nは正の整数)\) であることを示せ。
解答はこちら。
次の導関数を求めよ。
ⅰ) \(f(z)=(z^3+4z)(z^2-1)\), ⅱ) \(f(z)=\frac{2z}{1-z}\), ⅲ) \(f(z)=(z^2-4z+6)^2\)
解答はこちら。
\(f(z)=u(x,y)+i(v(x,y)\;(z=x+iy)\) が点 \(z_0=x_0+iy_0\) で微分可能であるための条件は, \(u,v\) がとものに \((x_0,y_0)\) で全微分可能で, かつその偏微分係数が次の Cauchy-Riemann の関係式 をみたすことである。
\[ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} \tag{2} \]
そして, このとき
\[ f^\prime(z_0)=\frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y} \tag{3} \]
となる。
証明はこちら。