独立変数 \(z\) も従属変数 \(w\) もともに複素数である関数 \(w=f(z)\) を 複素関数 という。
\[
\begin{align}
w &= f(z) \\
&\downarrow \\
u+iv &= f(x+iy)
\end{align}
\]
独立変数が2次元で, 従属変数も2次元なので, 複素関数をそのままグラフ表現すると(2+2=)4次元となる。
そのままでは把握しにくいので以下のような対応を行う。
① 2変数 \((x,y)\)→実数値(\(u\) または \(v\)) 関数の2つの組と考える。
(2+1=3次元のグラフ2個なら把握できる。両方の関連を含めた把握は相変わらず難しいが･･･)
\[
u=u(x,y), v=v(x,y)
\]
例: \(w=f(z)=z^2\)
・\(u(x,y)=x^2-y^2\)
・\(v(x,y)=2xy\)
② 独立変数 \(z\) の値が変動する複素平面を \(z\) 平面, 従属変数 \(w\) の値が変動する複素平面を \(w\) 平面 と呼び, \(w=f(z)\) の 定義域 \(D\) を \(z\)平面上に, 値域 \(W\) を \(w\) 平面上にとり, \(D\) と \(W\) の対応関係を調べる。
(2つ並べた2次元のグラフなら把握できる。全体の把握は相変わらず難しいが･･･)
\(w=z^2\) により
ⅰ) \(z\) 平面の両軸に平行な直線は \(w\) 平面のいかなる曲線に対応するか
ⅱ) \(w\) 平面の両軸に平行な直線は \(z\) 平面のいかなる曲線に対応するか
解答はこちら。
次の関数 \(w=f(z)\) において, \(z\) が範囲 \(D\) を動くとき, \(w\) はどのような範囲を動くか。
ⅰ) \(w=iz,\;D=\{z\mid 1\leq |z| \leq 2,\; 0\leq \arg\;z\leq \pi\}\)
ⅱ) \(w=z^4,\;D=\left\{z\mid |z|\leq 1,\; 0\leq\arg\;z \leq\frac{\pi}{4}\right\}\)
解答はこちら。
\(z\) が \(z_0\) に近づくとは \(|z-z_0|\) が 0 に近づくことを意味し, これを \(z\rightarrow z_0\) と記す。
(\(z\) が \(z_0\) に近づく経路は無限にあるが, \(|z-z_0|\) を持ち出すことで実数の距離で議論することができる)
関数 \(w=f(z)\) において
\[
z\rightarrow z_0\; のとき\; f(z)\rightarrow \alpha
\]
であれば, \(z\) が \(z_0\) に近づいたとき, \(f(z)\) は \(\alpha\) に収束するという。これを正確に定義すると以下のようになる。
\(w=f(z)\) の定義域を \(D\) とし,
どのような正の数 \(\varepsilon\gt 0\) に対しても, 正の数 \(\delta\gt 0\) を適当に定めて
\[
0\lt |z-z_0|\lt\delta,\;z\in D のとき常に\;|f(z)-\alpha|\lt\varepsilon\;(\alpha\neq\infty)
\]
となるようにできるならば, \(z\) が \(z_0\) に近づいたとき \(f(z)\) は 極限値 \(\alpha\) に収束する といい
\[
\lim\limits_{z\rightarrow z_0}f(z)=\alpha または f(z)\rightarrow \alpha\;(z\rightarrow z_0)
\]
と記す。
この定義は形式的に実関数の場合と同じだから, 次が成り立つ。 \[ \left. \begin{align} &\lim\limits_{z\rightarrow z_0}f(z)=\alpha, \lim\limits_{z\rightarrow z_0}g(z)=\beta のとき\\ \\ &\lim\limits_{z\rightarrow z_0}\{f(z)+g(z)\}=\alpha+\beta, \lim\limits_{z\rightarrow z_0}\{kf(z)\}=k\alpha (kは定数)\\ \\ &\lim\limits_{z\rightarrow z_0}\{f(z)g(z)\}=\alpha\beta, \lim\limits_{z\rightarrow z_0}\frac{f(z)}{g(z)}=\frac{\alpha}{\beta} (\beta\neq 0) \end{align} \right\} \tag{1} \]
\(z=x+iy\) のとき, \(|z|=\sqrt{x^2+y^2}\) であるから
\[
|x|,|y|\leq|z|\leq|x|+|y|
\]
(導出はこちら)
したがって
\[
[z\rightarrow 0] \Longleftrightarrow [(x,y)\rightarrow (0,0)]
\]
このことより, 次の関係がわかる。
・\(z=x+iy, z_0=x_0+iy_0\)
・\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)
・\(\alpha=a+ib\)
とすると
\[
\lim\limits_{z\rightarrow z_0} f(z)=\alpha \Longleftrightarrow
\begin{cases}
\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)} u(x,y) = a \\
\\
\lim\limits_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)} v(x,y) = b
\end{cases}
\tag {2}
\]
※ 極限については, 複素関数を 2つの別々の関数と考えても結果は同じ。
\(\infty\) を含む極限については次のように定義する。 \[ \left. \begin{array}{l l} 独立変数が →\infty & \lim\limits_{t\rightarrow 0}f\left(\frac{1}{t}\right)=\alpha\Longleftrightarrow \lim\limits_{z\rightarrow\infty}f(z)=\alpha (\alpha:有限複素数)\\ \\ 従属変数が →\infty &\lim\limits_{z\rightarrow z_0}\frac{1}{f(z)}=0 \Longleftrightarrow \lim\limits_{z\rightarrow z_0}f(z)=\infty \\ \\ 独立変数と従属変数が →\infty &\lim\limits_{t\rightarrow 0}\frac{1}{f\left(\frac{1}{t}\right)}=0\Longleftrightarrow \lim\limits_{z\rightarrow \infty}f(z)=\infty \end{array} \right\} \tag{3} \] ※ 複素数に \(\infty\) は含まれないが, 変数変換(\(z→\frac{1}{t}, w→\frac{1}{f(z)})\) により →0 で →\(\infty\) を表現している。
ⅰ) \(\lim\limits_{z\rightarrow 0}\displaystyle\frac{Re(z)}{z}\), ⅱ)\(\lim\limits_{z\rightarrow\infty}\displaystyle\frac{1}{1+z^2}\) を求めよ。
解答はこちら。
次の極限値を求めよ。
ⅰ) \(\lim\limits_{z\rightarrow 0}\displaystyle\frac{\overline{z}}{z}\), ⅱ) \(\lim\limits_{z\rightarrow 1}\displaystyle\frac{z\overline{z}+2z-\overline{z}-2}{z^2-1}\), ⅲ) \(\lim\limits_{z\rightarrow i}\displaystyle\frac{1}{1+z^2}\)
解答はこちら。
\(z_0\) が, \(w=f(z)\) の定義域 \(D\) に属し, \(\lim\limits_{z\rightarrow z_0}f(z)=f(z_0)\) が成り立つとき, \(f(z)\) は \(z_0\) で連続 であるという。すなわち,
どのような正の数 \(\varepsilon\gt 0\) に対しても, 正の数 \(\delta\gt 0\) を適当に定めて
\[
|z-z_0|\lt \delta, z\in D\; のちき常に\;|f(z)-f(z_0)|\lt \varepsilon
\]
となるようにできるとき, \(f(z)\) は \(z_0\) で連続という。
※ 連続とは \(f(z)\) が \(z\rightarrow z_0\) で収束し, 極限値が \(f(z_0)\) になるということ。
次に \(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\) \((z=x+iy\)) が \(z_0=x_0+iy_0\) で連続なことを \(u,v\) の条件で表してみる。 \[ \lim\limits_{z\rightarrow z_0}f(z)=f(z_0)\longleftrightarrow \begin{cases} \lim\limits_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}u(x,y)=u(x_0,y_0) \\ \\ \lim\limits_{(x,y)\rightarrow (x_0,y_0)}v(x,y)=v(x_0,y_0) \end{cases} \]
\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\;(z=x+iy)\) が \(z_0=x_0+iy_0\) で連続である条件は, \(u(x,y),v(x,y)\) がともに \((x_0,y_0)\) で連続なことである。
\(w=f(z)\) がある領域 \(D\) 内の全ての点で連続のとき, \(f(z)\) は 領域 \(D\) で連続 であるという。
定義も形式的には, 実関数のときと全く同様だから次の事実が成り立つ。
\(f(z), g(z)\) が \(z_0\) で連続のとき \[ f(z)+g(z), kf(z)\;(kは複素数), f(z)g(z), \frac{f(z)}{g(z)} \] はいずれも \(z_0\) で連続である。ただし,除法に関しては, \(g(z_0)\neq 0\) とする。
\(w=f(z)\) が \(z_0\) で連続で, \(w_0=f(z_0)\) とするとき, \(g(w)\) が \(w_0\) で連続ならば, \(g\{f(z)\}\) は \(z_0\) で連続である。
次の関数は原点で連続であるか。
ⅰ)
\[
f(z)=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{z}{|z|} & (z\neq 0) \\
\\
0 & (z=0)
\end{cases}
\]
ⅱ)
\[
f(z)=
\begin{cases}
\displaystyle\frac{z^2}{|z|} & (z\neq 0) \\
\\
0 & (z=0)
\end{cases}
\]
解答はこちら。
\(f(z)\) が \(z_0\) で連続ならば \(\overline{f(z)},|f(z)|\) も \(z_0\) で連続であることを証明せよ。
解答はこちら。
有界な閉領域 \(A\) で連続な関数 \(f(z)\) は \(A\) で有界, すなわち \(A\) に属する任意の \(z\) に対して, \(|f(z)|\leq K\) を満たす定数 \(K\) が存在する。
また \(A\) において \(|f(z)|\) は最大値と最小値をもつ。さらに \(A\) で一様連続となる。すなわち, 任意の \(\varepsilon\gt 0\) に対して, 適当な \(\delta\gt 0\) が存在して, \(A\) に属し \(|z_1-z_2|\lt \delta\) である任意の2点 \(z_1,z_2\) に対して \(|f(z_1)-f(z_2)|\lt\varepsilon\) となるようにできる。これらのことは, 実関数の場合と同様に証明される。
(補足はこちら)
このように, 極限,連続性に関する限り,複素関数は2つの2変数実関数の組を考えるのと同じである。しかし次節以降で登場する微分可能性に至って決定的な差異が現れる。