\(\mathbb{C}\) 上の数列 \(\{z_k\}\) に対し, \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}|z_n|=\infty\) と \(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}z_n=\infty\) は同値であり, \(z_n\neq 0\) のときはさらに \(\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{|z_n|}=0\) とも同値であることを示せ。
(解答)
\(\lim\limits_{n\rightarrow \infty}|z_n|=\infty\) より, 任意の正の実数 \(\varepsilon\gt 0\) に対して, ある自然数 \(N\) が存在し,
\(n\geq N\) に対して \(|z_n|\gt \varepsilon \Longrightarrow z_n\in U_\varepsilon(\infty) \Longrightarrow \lim\limits_{n\rightarrow\infty} z_n=\infty\)
\(\lim_\limits{n\rightarrow\infty}z_n=\infty\) より \(z_n\in U_R(\infty) \Longrightarrow n\geq N\; に対して\; |z_n|\gt R\)
\(\Longrightarrow \lim\limits_{n\rightarrow\infty}|z_n|=\infty\)
\(\displaystyle\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{|z_n|}=0\) より \(\displaystyle \frac{1}{|z_n|}\lt \varepsilon\) となる \(n\geq N\) が存在する。
\(\displaystyle \Longrightarrow |z_n|\gt \frac{1}{\varepsilon}\) となる \(n\geq N\) が存在する。\(\displaystyle \Longrightarrow z_n\in U_{\frac{1}{\varepsilon}}(\infty)\)
\(\displaystyle \Longrightarrow \lim\limits_{n\rightarrow \infty} z_n=\infty\)
\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}z_n=\infty\) より \(z_n\in U_R(\infty)\)
\(\displaystyle \Longrightarrow |z_n|\gt R\) となる \(n\geq N\) が存在する。
\(\displaystyle \Longrightarrow \frac{1}{|z_n|}\lt \frac{1}{R}\) となる \(n\geq N\) が存在する。
\(\displaystyle \Longrightarrow \lim\limits_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{|z_n|}=0\)