\(SN\) を \(z\) 軸にとり, \(P\) の座標を \((\xi,\eta,\zeta)\) とすると \[ \xi^2+\eta^2+\zeta^2-\zeta=0, \frac{x}{\xi}=\frac{y}{\eta}=\frac{1}{1-\zeta} \] となることを示す。
(式の導出)
●中心が \((0,0,\frac{1}{2})\), 半径が \(\frac{1}{2}\) の球の表面
\[
X^2+Y^2+\left(Z-\frac{1}{2}\right)^2=\left(\frac{1}{2}\right)^2
\]
※点 \((0,0,\frac{1}{2})\) と 点 \((X,Y,Z)\) の距離 \(=\frac{1}{2}\) になるという条件を満たす点の集まり。
点 \(P\) は球面上の点なので、上式の \(X,Y,Z\) に \(\xi,\eta,\zeta\) を代入しても等式が成り立つ。
\[
\begin{align}
\xi^2+\eta^2+\left(\zeta-\frac{1}{2}\right)^2 &= \left(\frac{1}{2}\right)^2 \\
\\
\xi^2+\eta^2+\zeta^2-\zeta+\cancel{\frac{1}{4}}&=\cancel{\frac{1}{4}} \\
\\
\xi^2+\eta^2+\zeta^2-\zeta &= 0
\end{align}
\]
●線分 \(\overline{NP}\) を延長した先に \(z\) があるので, \(k\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{Nz}\) となる。
・点 \(N\): \((0,0,1)\)
・点 \(P\): \((\xi,\eta,\zeta)\)
・点 \(z\): \((x,y,0)\) ･･･ 点\(z\) の z 座標は 0 であることに注意。
\[
\begin{align}
&k
\begin{pmatrix}
\xi-0 \\
\eta-0 \\
\zeta-1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x-0 \\
y-0 \\
0-1
\end{pmatrix} \\
\\
&\begin{pmatrix}
k\xi \\
k\eta \\
k(\zeta-1)
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
-1
\end{pmatrix}\\
\\
&k=\frac{x}{\xi}=\frac{y}{\eta}=\frac{-1}{\zeta-1}=\frac{1}{1-\zeta}
\end{align}
\]