1.1 複素平面
例題1.1 解答
次の複素数を \(x+iy\) の形に表わせ。
(数値を代入した場合の見やすさの都合上, \(x+iy\) ではなく \(x+yi\) の形で表す)
- (1) \((-3+i)(2-5i)\)
積の公式(3)より
\(((-3)(2)-(1)(-5))+i((-3)(-5)+(1)(2))= -1+17i\)
実数の場合と同様の計算＋(\(i^2=-1\))でも同じ結果になる。
(同じになるように複素数の四則が定義されている)
\(= -6 + 15i + 2i + 5 = -1 + 17i\)
- (2) \(\displaystyle\frac{3+i}{1-2i}\)
商の公式(4)より
\(=\displaystyle\frac{(1)(3)+(-2)(1)}{(1)^2+(-2)^2}+i\frac{(1)(1)-(-2)(3)}{(1)^2+(-2)^2}=\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i\)
実数の場合と同様の計算＋(\(i^2=-1\))でも同じ結果になる。
(同じになるように複素数の四則が定義されている)
\(=\displaystyle\frac{(1+2i)(3+i)}{(1+2i)(1-2i)}=\frac{3+i+6i-2}{1+4}=\frac{1}{5}+\frac{7}{5}i\)
- (3) \(\displaystyle\frac{i}{1+i}+\frac{1+i}{i}\)
商の公式(4)より
\(\displaystyle\frac{(1)(0)+(1)(1)}{(1)^2+(1)^2}+i\frac{(1)(1)-(0)(1)}{(1)^2+(1)^2}+\frac{(0)(1)+(1)(1)}{(0)^2+(1)^2}+i\frac{(0)(1)-(1)(1)}{(0)^2+(1)^2}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}+i\frac{1}{2}+\frac{1}{1}+i\frac{-1}{1}=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i\)
実数の場合と同様の計算＋(\(i^2=-1\))でも同じ結果になる。
(同じになるように複素数の四則が定義されている)
\(=\displaystyle\frac{(1-i)i}{(1-i)(1+i)}+\frac{i(1+i)}{i\cdot i}=\frac{1+i}{1+1}+\frac{-1+i}{-1}\)
\(=\displaystyle\frac{1}{2}+i\frac{1}{2}+1-i=\frac{3}{2}-\frac{1}{2}i\)