ある集合に属さない点全体の集合をその集合の補集合という。開集合の補集合は閉集合であり、閉集合の補集合は開集合であることを示せ。
(解答) Copilotに教えてもらったが証明になっているのか判らず･･･(保留)
ある集合 \(U\) が開集合だとする。
\(U^c\) を \(U\) の補集合とすると、\(U\) の外側の点の集まりになる。
すべての \(U^c\) の集積点は \(U^c\) に含まれる。
なぜなら、\(U\) が開集合であるため、\(U\) の任意の点の近傍には \(U\) の点しか含まれず、\(U^c\) の点の近傍には必ず \(U^c\) の点が存在する。
よって、\(U^c\) はそのすべての集積点を含む → \(U^c\) は閉集合。
ある集合 \(F\) が閉集合とする。
\(F^c\) は \(F\) に属さない点の集合。
\(F\) がすべての集積点を含むということは、\(F^c\) の任意の点の近傍には \(F\) の点が含まれない。
よって \(F^c\) の任意の点には、その点を含む開近傍が存在する → \(F^c\) は開集合。