\(\theta\) が \(2\pi\) の整数倍でないとき, 次の等式を証明せよ。 \[ \begin{align} &1+\cos(\theta)+\cos(2\theta)+\cdots+\cos(n\theta) = \cos\left(\frac{n\theta}{2}\right)\sin\left(\frac{(n+1)\theta}{2}\right)\Big/\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \\ \\ &\sin(\theta)+\sin(2\theta)+\cdots+\sin(n\theta)=\sin\left(\frac{n\theta}{2}\right)\sin\left(\frac{(n+1)\theta}{2}\right)\Big/\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) \end{align} \]
(準備) \[ 1-\cos(\alpha)=2\sin^2(\frac{\alpha}{2}) \] \[ \sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \]
(証明)
\(z=\cos(\theta)+i\sin(\theta)\;\theta\neq 2k\pi)\) とおく。(条件より \(z\neq 1\))
\(1+z+z^2+\cdots+z^n=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}\) に極形式の \(z\) を代入。
\[
\begin{align}
&1+(\cos(\theta)+i\sin(\theta))+(\cos(2\theta)+i\sin(2\theta))+\cdots+(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)) \\
\\
& =\frac{1-(\cos((n+1)\theta)+i\sin((n+1)\theta))}{1-\cos(\theta)-i\sin(\theta)} \\
\\
& \underbrace{=}_{公式を適用}\frac{\cancel{2}\sin^2\frac{(n+1)\theta}{2}-\cancel{2}i\sin\frac{(n+1)\theta}{2}\cos\frac{(n+1)\theta}{2}}{\cancel{2}\sin^2\frac{\theta}{2}-\cancel{2}i\sin\frac{\theta}{2}\cdot\cos\frac{\theta}{2}} \\
\\
& =\frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\cdot\frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}-i\cos\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}-i\cos\frac{\theta}{2}}\\
\\
& \underbrace{=}_{\times\frac{i}{i}}\frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\cdot
\frac{\cos\frac{(n+1)\theta}{2}+i\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2}} \\
\\
& \underbrace{=}_{公式(13)}\frac{\sin\frac{(n+1)\theta}{2}}{\sin\frac{\theta}{2}}\cdot\left\{\cos\frac{n\theta}{2}+i\sin\frac{n\theta}{2}\right\}
\end{align}
\]
両辺の実部, 虚部を比較すると例題の式になる。