Category Theory for the Sciences
科学のための圏論

Exercise 2.1.2.17. 演習 2.1.2.17.

Let \(n \in \mathbb{N}\) be a natural number, and let \(X\) be a set with exactly \(n\) elements.
\(n \in \mathbb{N}\) を自然数とし、\(X\) をちょうど \(n\) 個の要素を持つ集合とします。

a. How many isomorphisms are there from \(X\) to itself ?
\(X\) からそれ自身への同型はいくつありますか?
●解答
- 1)　\(X\) の 1番目の要素の行き先として、\(X\) の \(n\) 個の要素からいずれか 1つを選ぶことができる。
- 2)　\(X\) の 2番目の要素の行き先として、残った \(n-1\) 個の要素からいずれか 1つを選ぶことができる。
- ：
- n)　これを \(n\) 番目の要素まで繰り返す。
したがって、写像の総数は \(n\times (n-1)\times \dots \times 1=n!\) となる。

b. Does your formula from part (a) hold when \(n = 0\) ?
(a) の式は \(n = 0\) のときにも成り立ちますか?

●解答･･･ Google AIモードに教えてもらった

\(n=0\) のとき、\(X\) は要素を持たない空集合 \(\varnothing \) です。
・空集合から空集合への写像は、定義域が空であるため、ただ一つ存在します。
　( ... → ... のみ)
・この唯一の写像は、全単射であり、恒等写像とみなせます。
　(写像されない要素が存在しない (元々要素が存在しないので･･･) ので全単射)
　( ... を ... への写像するので恒等写像)

一方、\(0!\) の値は \(1\) と定義されています。
したがって、\(n=0\) の場合も、同型写像の数は \(0!=1\) となり、一般式と一致します。