Let \(A:=\{1, 2, 3\}\). What are all the subsets of \(A\)? Hint: There are eight.
A set can have other sets as elements. For example, the set \(X:=\{\{1,2\},\{4\},\{1,3,6\}\}\) has three elements, each of which is a set.
\(A:=\{1, 2, 3\}\) とします。\(A\) の部分集合はすべて何でしょうか？ヒント：8つあります。
集合は他の集合を要素として持つことができます。例えば、集合 \(X:=\{\{1,2\},\{4\},\{1,3,6\}\}\) には3つの要素があり、それぞれが集合です。
●解答
集合 \(A=\{1,2,3\}\) の各要素に対して, ある部分集合に属す(1), 属さない(0)とすると2進数で表現できる。
\[
\begin{array}{l l}
\text{{1,2,3}}\\
\text{ 0 0 0} & \varnothing \\
\text{ 0 0 1} & \{3\} \\
\text{ 0 1 0} & \{2\} \\
\text{ 0 1 1} & \{2,3\} \\
\text{ 1 0 0} & \{1\} \\
\text{ 1 0 1} & \{1,3\} \\
\text{ 1 1 0} & \{1,2\} \\
\text{ 1 1 1} & \{1,2,3\}=A \\
\end{array}
\]
\(A\) の部分集合の集合 = \(\{\varnothing,\{3\}, \{2\}, \{2,3\}, \{1\}, \{1,3\}, \{1,2\}, \{1,2,3\}=A\}\)
ある集合の、すべての部分集合を要素として持つ集合をべき集合(power set)という。