Richard P. Feynman
K. C. Cole. 『Sympathetic Vibrations (共鳴振動)』より引用
Bantam, reprint edition, 10 1985.
ISBN 9780553342345
対称性から何が導かれるかを議論する前に、理論に手作業で何を組み込む必要があるかを明確にしておきましょう。まず第一に、現在、自然界の定数を導出できる理論は存在しません。これらの定数は実験から抽出する必要があります。例としては、様々な相互作用の結合定数や素粒子の質量などが挙げられます。
それに加えて、説明できないものがあります。それは数字の3です。これは数字の神秘主義のようなものではありませんが、数字の3に直接関連するあらゆる制約を説明できないのです。例えば、
1 この入門書にあるゲージ理論や二重被覆といった用語が理解できなくても心配しないでください。これらの用語はすべて本書の後半で詳しく説明します。ここでは完全性のためにのみ記載しています。
2 例えば、現在の宇宙における元素の存在量は、世代数に依存します。さらに、衝突型加速器実験による強力な証拠も存在します。（例えば、Phys. Rev. Lett. 109, 241802を参照）。
現在の理論では、これらは手作業で組み込む必要がある仮定です。実験からそれらが正しいことは分かっていますが、3つで止めなければならないというより深い原理は今のところありません。
さらに、対称性からは導き出せないものの、妥当な理論を導き出すためには考慮に入れなければならないことが1つあります。
ラグランジアンの微分演算子 \(∂_μ\) には、可能な限り最低の非自明な次数しか含めることができません。理論によっては、これらは一次微分 \(∂_μ\) ですが、ローレンツ不変性により一次微分が禁じられている理論もあります。そのため、二次微分 \(∂_μ∂^μ\) が可能な限り最低の非自明な次数となります。そうでなければ、意味のある理論は得られません。高次の微分を持つ理論は下から無制限であり、つまり、そのような理論のエネルギーは任意の負の値を取ることができます。したがって、そのような理論の状態は常により低いエネルギー状態へと遷移し、決して安定しません。
最後に、本書の他の理論を導出する方法では導出できないものがもう一つあります。それは重力です。もちろん、一般相対性理論と呼ばれる美しく正しい重力理論は存在します。しかし、この理論は他の理論とは全く異なる仕組みで作用し、完全な導出は本書の範囲を超えています。量子重力は、重力を他の理論と同じ枠組みに当てはめようとする試みですが、まだ構築途中の理論であり、誰も成功裏に導出できていません。とはいえ、最終章では重力に関するいくつかのコメントを述べます。
本書では自然単位系を使用しています。つまり、プランク定数を\(\hbar = 1\)、光速を\(c = 1\)と設定しています。これは理論的な考察には役立ちます。不要な記述を省くことができるからです。応用分野では、標準SI単位系に戻すために定数を再度加算する必要があります。
私たちの出発点は、特殊相対性理論の基本的な仮定です。 それは、光速度はすべての慣性系（互いに等速度で移動する系）において同じ値cを持ち、物理学はすべての慣性系において同じであるということです。
これらの対称性制約によって許されるすべての変換の集合は、ポアンカレ群と呼ばれます。これらを利用できるようにするために、対称性を扱うための数学理論について説明します。この数学の分野は群論と呼ばれます。ここでは、ポアンカレ群 3 の既約表現を導出します。これは、他のすべての表現の基本的な構成要素と考えることができます。これらの表現は、このテキストの後半で、異なるスピンを持つ粒子や場を記述するために使用します。スピンは、異なる種類の粒子/場を表す抽象的なラベルであると同時に、内部角運動量のようなものと見なすことができます。これがどのように生じるのかを詳しく説明します。
3 技術的に正確に言うと、ポアンカレ群そのものではなく、ポアンカレ群の二重被覆の表現を導出します。「二重被覆」という用語は、群の二重被覆と群自体との間の写像が、二重被覆の2元を群の1元に写すという観察に由来しています。これは3.3.1節で詳しく説明します。
その後、ラグランジアン形式論が導入され、物理的な文脈における対称性の扱いが非常に容易になります。中心的な対象はラグランジアンです。異なるラグランジアンは異なる物理系を記述するため、対称性を考慮していくつかのラグランジアンを導出します。さらに、オイラー-ラグランジュ方程式を導出します。これにより、与えられたラグランジアンから運動方程式を導出することができます。ポアンカレ群の既約表現を用いることで、異なるスピンを持つ場と粒子の基本運動方程式を導出することができます。
ここでの中心的な考え方は、ラグランジアンがポアンカレ群のいかなる変換に対しても不変（＝変化しない）でなければならないということです。 これにより、運動方程式はあらゆる参照系において同じ形をとることが保証されます。これは、上で「物理学はあらゆる慣性系において同じである」と述べた通りです。
次に、自由スピン \(\frac{1}{2}\) 場に対するラグランジアンのもう一つの対称性、すなわち \(\mathcal{U}(1)\) 変換に対する不変性を発見します。同様に、スピン 1 場に対する内部対称性も発見できます。局所 \(\mathcal{U}(1)\) 対称性を強く求めると、スピン \(\frac{1}{2}\) 場とスピン 1 場の間に結合項が存在します。この結合項を含むラグランジアンが、正しい量子電磁力学のラグランジアンです。同様の手順を局所 \(\mathcal{SU}(2)\) および \(\mathcal{SU}(3)\) 変換に対して行うことで、正しい弱い相互作用と強い相互作用のラグランジアンが得られます。
さらに、対称性の破れと、対称性を破る特別な方法であるヒッグス機構についても議論します。ヒッグス機構は、質量4の粒子を記述することを可能にします。
4 ヒッグス機構がなければ、ラグランジアンにおける質量を記述する項は 対称性を損なうため、禁止されます。
その後、対称性と保存量の間に深い関連性があることを明らかにするネーターの定理が導出されます。この関連性を利用し、各物理量を対応する対称性生成子と同一視します。これにより、量子力学で最も重要な方程式が導き出されます。 \[ [\hat{x}_i,\hat{p}_j]=i\delta_{ij} \tag{1.1} \] そして場の量子論 \[ [\hat{\Phi}(x),\hat{\pi}(y)]=i\delta(x-y) \tag{1.2} \] スピン0粒子の運動方程式の非相対論的5極限、すなわちクライン・ゴルドン方程式を取り上げます。この極限は有名なシュレーディンガー方程式をもたらします。これは、物理量と対応する対称性の生成子との間の同一視とともに、量子力学の基礎となります。
5 非相対論的とは、すべてのものが光の速度に比べてゆっくりと動くことを意味し、したがって、特殊相対論の特に興味深い特徴は測定できないほど小さいのです。
次に、様々な運動方程式6と式1.2の解から始めて、自由場の量子論について考察します。6 クライン・ゴルドン方程式、ディラック方程式、プロカ方程式、そして その後、マクスウェル方程式を詳しく調べることで相互作用を考慮します。 異なるスピンの場間の結合項を持つラグランジアンについて考察します。これにより、散乱過程の確率振幅がどのように導かれるかを議論することができます。
エーレンフェストの定理を導出することにより、量子力学と古典力学の関連性が明らかになります。さらに、マクスウェル方程式やローレンツ力の法則を含む古典電気力学の基本方程式が導出されます。
最後に、一般相対性理論と呼ばれる現代の重力理論の基本構造を簡単に紹介し、量子重力理論の導出における困難さについていくつか考察する。
本書の主要部分は、対称性を数学的に扱うために必要なツールと、一般に標準モデルとして知られるものの導出についてです。標準モデルは、場の量子論を用いて、既知のすべての素粒子の挙動を記述します。今日まで、標準モデルのすべての実験的予測は正しかったのです。したがって、本書で紹介される他のすべての理論は、標準モデルの特別なケースとして導かれると言えます。例えば、巨視的な物体の極限では古典力学、低エネルギーの素粒子の極限では量子力学が用いられます。現在知られている素粒子とその相互作用について初めて知る読者のために、次のセクションでは簡単な概要を説明します。
素粒子には大きく分けて2つのカテゴリーがあります。ボソンとフェルミオンです。フェルミオンが全く同じ状態になることは2つとなく、これはパウリの排他原理として知られていますが、ボソンは無限にあります。この興味深い自然界の事実が、これらの粒子の全く異なる振る舞いを生み出しています。
これは例えば、原子はフェルミオン7で構成されているが、電磁力はボソンによって媒介されることを意味します。電磁相互作用を担うボソンは光子と呼ばれます。この排他原理の最も劇的な帰結の一つは、安定した物質がそもそも存在しないということです。もし同じ状態に無限の数のフェルミオンが存在できるとしたら、安定した物質は存在しないでしょう8。
7
原子は電子、陽子、中性子から構成されており、これらはすべてフェルミオンです。
しかし、陽子と中性子は基本粒子ではなく、クォークから構成されており、クォークもフェルミオンであることに注意してください。
現在知られている基本的な力は4つある
これらのボソンの中には質量がないものもあれば、質量のないものもあり、これは自然について深いことを教えてくれます。適切な枠組みを構築すれば、このことを完全に理解できるでしょう。今は、それぞれの力が対称性と密接に関連していることに注目してください。弱い力を媒介するボソンに質量があるという事実は、関連する対称性が破れていることを意味します。この自発的対称性の破れのプロセスが、すべての素粒子の質量の原因です。これは、別の基本ボソンであるヒッグス粒子との結合によって可能になることを後で見ていきます。
素粒子は、対応する電荷9 を持っている場合、何らかの力を介して相互作用します。
9 すべての電荷には美しい共通の起源があり、それについては第7章で説明します。
10 弱い力の電荷にはしばしば「弱い」という接頭辞が付きます。つまり、弱いアイソスピンと呼ばれます。これは、強い力を介して相互作用する複合物体にはアイソスピンという別の概念があるためです。しかし、これは基本的な電荷ではなく、本書では「弱い」という接頭辞は省略されています。
基本的なフェルミオンは2つのサブカテゴリに分けられます。 クォークは陽子と中性子の構成要素であり、 レプトンはレプトンです。有名なレプトンの例としては、電子やニュートリノが挙げられます。 クォークとレプトンは、それぞれ2つの粒子から構成される3つの世代に分類されます。
粒子はラベルによって識別できます。電荷と質量に加えて、スピンと呼ばれる非常に重要なラベルがあります。これは一種の内部角運動量と見なすことができます。ボソンは整数スピンを持ち、フェルミオンは半整数スピンを持ちます。上記に挙げた基本フェルミオンはスピン1を持ち、ほぼすべての基本ボソンはスピン0を持ちます。スピン0を持つ基本粒子は、ヒッグス粒子だけが知られています。
それぞれの粒子には反粒子が存在し、それらは全く同じラベルを持ち、符号が反対です11。電子の場合、反粒子は陽電子と呼ばれますが、一般的には特別な名前はなく、「反」という接頭辞だけが付きます。例えば、アップクォークに対応する反粒子は反アップクォークと呼ばれます。光子12のような粒子は、それ自身も反粒子です。
11
質量ラベルを除けば、おそらくそうでしょう。
これは現在、スイスのジュネーブにある欧州原子核研究機構（CERN）のAEGIS実験、ATRAP実験、ALPHA実験などで実験的に研究されています。
12
そしておそらくニュートリノも、現在多くの実験で実験的に調査されており、ニュートリノなしの二重ベータ崩壊を探索しています。
これらの概念はすべて、本書の後半でより詳しく説明します。 さて、この粒子動物園における様々な登場人物の相互作用を正しく記述する理論の導出に取り掛かりましょう。 この目標に向けた最初の礎石は、アインシュタインの有名な特殊相対性理論であり、これは次章で取り上げます。
