A nonzero number \(\varepsilon\) is defined to be infinitely small, or infinitesimal, if
非ゼロ数 \(\varepsilon\) は、次の場合、無限に小さい、または無限小であると定義されます。
\[
|\varepsilon| < \frac{1}{n}\; for\; all\; n = 1,2,3, ....
\]
In this case the reciprocal \(\omega = \frac{1}{\varepsilon}\) will be infinitely large, or simply infinite,
meaning that
この場合、逆数 \(\omega = \frac{1}{\varepsilon}\) は無限に大きい、つまり単純に無限大となり、
\[
|\omega| > n\; for\; all\; n = 1,2,3, ....
\]
Conversely, if a number \(\omega\) has this last property, then\(\frac{1}{\omega}\)will be a nonzero infinitesimal.
逆に、数 \(\omega\) がこの最後の特性を持つ場合、\(\frac{1}{\omega}\) は非ゼロの無限小になります。
However, in the real number system \(\mathbb{R}\) there are no such things as nonzero
infinitesimals and infinitely large numbers. Our aim here is to study a larger
system, the hyperreals, which form an ordered field \({}^*\mathbb{R}\) that contains \(\mathbb{R}\) as
a subfield, but also contains infinitely large and small numbers according
to these definitions. The new entities in \({}^*\mathbb{R}\), and the relationship between
\({}^*\mathbb{R}\) and \(\mathbb{R}\), provide an intuitively appealing alternative approach to real
analysis and topology, and indeed to many other branches of pure and
applied mathematics.
しかし、実数系 \(\mathbb{R}\) には、非零の無限小数や無限大数といったものは存在しません。ここでの私たちの目的は、より大きな系である超実数を研究することです。超実数は、\(\mathbb{R}\) を部分体として含む順序体 \({}^*\mathbb{R}\) を形成しますが、これらの定義によれば、無限大数や無限小数も含みます。\({}^*\mathbb{R}\) の新しい実体、および \({}^*\mathbb{R}\) と \(\mathbb{R}\) の関係は、実解析学や位相幾何学、そして純粋数学や応用数学の多くの分野に対して、直感的に魅力的な代替アプローチを提供します。
Our mathematical heritage owes much to the creative endeavours of people
who found it natural to think in terms of the infinite and the·infinitesimal.
By examining the words with which they expressed their ideas we can
learn much about the origins of our twentieth-century perspective, even if
that perspective itself makes it difficult, perhaps impossible, to recapture
faithfully the "mind-set" of the past.
私たちの数学の遺産は、無限と無限小という観点から考えることを自然に受け入れた人々の創造的な努力に大きく負っています。彼らが自らの考えを表現した言葉を検証することで、20世紀の視点の起源について多くを学ぶことができます。たとえ、その視点自体が過去の「考え方」を忠実に再現することを困難にし、おそらくは不可能にしているとしてもです。
An old idea that has never lost its potency is to think of a geometric
object as made up of an "unlimited" number of "indivisible" elements.
Thus a curve might be regarded as a polygon with infinitely many sides
of infinitesimal length, a plane figure as made up of parallel straight line
segments viewed as strips of infinitesimal width, and a solid as composed
of infinitely thin plane laminas.
古くからある考え方で、その効力を失っていないのは、幾何学的物体を「無限の」数の「分割不可能な」要素から構成されると考えることです。
例えば、曲線は無限に多くの辺を持ち、無限に微小な長さを持つ多角形とみなされ、平面図形は無限に微小な幅の帯として捉えられた平行直線部分から構成されるものとみなされ、立体は無限に薄い平面の薄板から構成されるものとみなされます。
The formula \(A= \frac{1}{2}rC\) for the area of a circle in terms of its radius and
circumference was very likely discovered by regarding the circle as made
up of infinitely many segments consisting of isosceles triangles of height r
with infinitesimal bases, these bases collectively forming the circle itself. In
the third century Be., Archimedes gave a proof of this formula using the
method of exhaustion that had been developed by Eudoxus more than a
century earlier. This involved approximating the area arbitrarily closely by
regular polygons. From the modern point of view we would say that as the
number of sides increases, the sequence of areas of the polygons converges
to the area of the circle, but the Greek mathematicians did not develop
the idea of taking the limit of an infinite sequence. Instead, they used an
indirect reductio ad absurdum argument, showing that if the area was not
equal to \(A= \frac{1}{2}rC\), then by taking polygons with sufficiently many sides a
contradiction would follow.
円の面積を半径と円周で表す公式 \(A = \frac{1}{2}rC\) は、円が、高さ r で無限小の底辺を持つ二等辺三角形からなる無限個の線分から成り、これらの底辺が集まって円を形成するとみなすことで発見された可能性が高い。紀元前3世紀、アルキメデスは、1世紀以上前にエウドクソスによって開発された網羅的方法を用いてこの公式の証明を与えた。これは、面積を正多角形で任意に近似するという方法であった。現代の観点から言えば、辺の数が増えるにつれて、多角形の面積の列は円の面積に収束すると言えるが、ギリシャの数学者たちは無限列の極限を求めるという発想は持たなかった。代わりに、彼らは間接的な背理法を用いて、面積が \(A = \frac{1}{2}rC\) に等しくない場合、十分な辺を持つ多角形を取ると矛盾が生じることを示しました。
Archimedes applied this approach to give proofs of many formulae for
areas and volumes involving circles, parabolas, ellipses, spirals, spheres,
cylinders, and solids of revolution. He wrote a treatise called The Method
of Mechanical Theorems in which he explained how he discovered these
formulae. His method was to imagine geometrical figures as being connected
by a lever that is held in balance as the elements of one figure whose
magnitude (area or volume) and centre of gravity is known are weighed
against the elements of another whose magnitude is to be determined. These
elements are as above: line segments in the case of plane figures, with
length as the comparative "weight"; and plane laminas in the case of solids,
weighted according to area.1 Archimedes did not regard this procedure as
providing a proof, but said of a result obtained in this way that
アルキメデスはこの手法を用いて、円、放物線、楕円、螺旋、球、円柱、回転体などを含む面積と体積に関する多くの公式の証明を行った。彼は『力学的定理の方法』という論文を著し、これらの公式の発見方法を説明した。彼の方法は、幾何学的図形がてこで繋がれていると仮定し、てこは、大きさ（面積または体積）と重心が分かっている一方の図形の要素と、大きさを求めるもう一方の図形の要素とを秤で秤量し、バランスをとるというものだった。これらの要素は前述の通りである。平面図形の場合は線分で、長さが比較対象となる「重さ」となる。立体の場合は平面の薄片で、面積に応じて重みが付けられる。1 アルキメデスはこの手順を証明とは考えていなかったが、この方法で得られた結果について次のように述べている。
1
A lucid illustration of the "Method" is given on pages 69-70 of the book
「方法」の分かりやすい説明は本書の69～70ページに掲載されている。
this has not therefore been proved, but a certain impression has
been created that the conclusion is true.
したがって、これは証明されたわけではありませんが、結論が真実であるというある種の印象が生み出されました。
The demonstration of its truth was then to be supplied by the method of
exhaustion. The lesson of history is that the way in which a mathematical
fact is discovered may be very different from the way that it is proven.
Indeed Archimedes' treatise, along with all knowledge of his "method",
was lost for many centuries and found again only in 1906.
その真実性の証明は、徹底的な方法によってなされることになりました。歴史の教訓は、数学的事実が発見される方法と、それが証明される方法が大きく異なる場合があるということです。実際、アルキメデスの論文は、彼の「方法」に関するあらゆる知識とともに、何世紀にもわたって失われ、1906年にようやく発見されました。
In the latter part of the seventeenth century the differential and integral
calculus was discovered by Isaac Newton and Gottfried Leibniz, independently.
Leibniz created the notation \(dx\) for the difference in successive values
of a variable \(x\), thinking of this difference as infinitely small or "less than
any assignable quantity". He also introduced the integral sign \(\int\), an elongated
"S" for "sum", and wrote the expression \(\int y dx\) to mean the sum of
all the infinitely thin rectangles of size \(y \times dx\). He expressed what we now
know as Leibniz's rule for the differential of a product \(xy\) in the form
17世紀後半、微分積分学はアイザック・ニュートンとゴットフリート・ライプニッツによってそれぞれ独立に発見されました。ライプニッツは、変数\(x\)の連続する値の差を表す記法\(dx\)を考案し、この差は無限に小さい、つまり「いかなる代入可能な量よりも小さい」と考えました。また、彼は積分記号\(\int\)（「和(sum)」を表す細長い「S」）を導入し、\(\int y dx\)という式を、サイズ\(y \times dx\)の無限に細い長方形すべての和を表すものとして書きました。彼は、現在では積\(xy\)の微分に関するライプニッツの法則として知られているものを、次の形で表現しました。
\[
d\,xy = x\,dy + y\,dx.
\]
To demonstrate this he first observed that
これを実証するために、彼はまず
\(dxy\) is the same thing as the difference between two successive
\(xy\) 's; let one of these be \(xy\), and the other \(x + dx\) into \(y + dy\).
\(dxy\) は、連続する 2 つの \(xy\) の差と同じです。つまり、1 つを \(xy\) とし、もう 1 つを \(x + dx\) から \(y + dy\) に変換します。
Then calculating
そして計算すると
\[
\begin{align}
dxy &= (x + dx)(y + dy)-xy \\
\\
&= x dy + y dx + dx dy
\end{align}
\]
he stated that the desired result follows by
彼は、望ましい結果は
the omission of the quantity \(dx\,dy\), which is infinitely small in
comparison with the rest, for it is supposed that dx and dy are
infinitely small.
dxとdyが無限に小さいと仮定されているため、他の量と比較して無限に小さい量\(dx\,dy\)を省略しています。
Leibniz's views on the actual existence of infinitesimals make interesting
reading. In response to certain criticisms, he drew attention to the fact that
Archimedes and others
ライプニッツの微小物体の実在に関する見解は興味深い読み物である。彼はいくつかの批判に対し、アルキメデスらが
by C.H. Edwards cited in Section 1.4, showing how it yields the area under the
graph of \(y = x^2\) between 0 and 1.
1.4節で引用したC.H. Edwardsによる式を用いて、\(y = x^2\)のグラフの下の0から1の間の面積がどのように求められるかを示します。
found out their wonderfully elegant theorems by the help of such
ideas; these theorems they completed with reductio ad absurdum
proofs, by which they at the same time provided rigorous demonstrations
and also concealed their methods,
彼らはそのようなアイデアの助けを借りて、素晴らしく優雅な定理を発見しました。そして、これらの定理を背理法による証明で完成させ、それによって厳密な証明を提供すると同時に、その手法を隠蔽しました。
and went on to write:
そしてこう書いている。
It will be sufficient if, when we speak of infinitely great (or more
strictly unlimited}, or of infinitely small quantities (i.e., the very
least of those within our knowledge), it is understood that we
mean quantities that are indefinitely great or indefinitely small,
i.e., as great as you please, or as small as you please, so that
the error that one may assign may be less than a certain assigned
quantity ... by infinitely great and infinitely small we understand
something indefinitely great, or something indefinitely
small, so that each conducts itself as a sort of class, and not
merely as the last thing of a class ... it will be sufficient simply
to make use of them as a tool that has advantages for the
purpose of calculation, just as the algebraists retain imaginary
roots with great profit.
無限に大きな量（より厳密には無制限）や無限に小さな量（すなわち、我々の知る限りの最小の量）について語るとき、それは無限に大きな量、あるいは無限に小さな量、すなわち、好きなだけ大きく、あるいは好きなだけ小さく、ある誤差が所定の量よりも小さくなるような量を意味すると理解されれば十分であろう。…無限に大きな量と無限に小さな量とは、無限に大きなもの、あるいは無限に小さなもの、つまり、それぞれが一種のクラスとして振る舞い、単にクラスの最後のものとして振る舞うわけではない、という意味であると理解されれば十分であろう。…代数学者が虚根を大きな利益のために保持しているのと同じように、それらを計算の目的に利点のある道具として利用するだけで十分であろう。
Further indication of this attitude is found in the following passage from
an argument in one of his manuscripts:
If \(dx, ddx ...\) are by a certain fiction imagined to remain, even
when they become evanescent, as if they were infinitely small
quantities (and in this there is no danger, since the whole
matter can be always referred back to assignable quantities),
then ...
Newton's formulation of the calculus used a different language and had a
more dynamic conception of the phenomena under discussion. He considered
fluents \(x, y,...\) as quantities varying in a spatial or temporal sense,
and their fluxions \(\dot{x},\dot{y}, ...\) as
the speeds with which they flow and are increased by their generating
motion.
In modern parlance, the fluxion \(\dot{x}\) is the derivative \(\frac{dx}{dt}\) of \(x\) with respect to
timet (or the velocity of \(x\)). Newton wrote (1671):
The moments of the fluent quantities (that is, their indefinitely
small parts, by addition of which they increase during each infinitely
small period of time} are as their speeds of flow ... if
the moment of any particular one, say \(x\), be expressed by the
product of its speed \(\dot{x}\) and an infinitely small quantity \(o\) (that is by \(\dot{x}o\)) ... it follows that quantities \(x\) and \(y\) after an infinitely
small interval of time will become \(x + \dot{x}o\) and \(y + \dot{y}o\). Consequently,
an equation which expresses a relationship of fluent
quantities without variance at all times will express that relationship
equally between \(x + \dot{x}o\) and \(y + \dot{y}o\) as between x and
y; and so x + xo and y + yo may be substituted in place of the
latter quantities, x andoy, in the said equation.
In other words, if \((x, y)\) is a point on the curve defined by an equation in
\(x\) and \(y\), then \((x + \dot{x}o, y + \dot{y}o)\) is also on the curve. But this does not seem
right: surely \((x + \dot{x}o, y +\dot{y}o)\) should lie on the tangent to the curve, the line
through \((x, y)\) of slope \(\dot{y}/\dot{x}\), rather than on the curve itself? Moreover, in
making the proposed substitution and carrying out algebraic calculations,
Newton permitted himself to divide by the infinitely small quantity o while
at the same time stating that
since \(o\) is supposed to be infinitely small so that it be able to express
the moments of quantities, terms which have it as a factor
will be equivalent to nothing in respect of others. I therefore cast
them out ...
which seems to amount to equating \(o\) to zero.
Such perplexities are typical of the confusions caused by the concepts of
infinitesimal calculus. In later writing Newton himself tried to explain his
theory of fluxions in terms of limits of ratios of quantities. He wrote that
he did not (unlike Leibniz)
consider Mathematical Quantities as composed of Parts extreamly
small, but as generated by a continual motion,
and that
fluxions are very nearly as the Augments of the Fluents.
His conception of limits is conveyed by the following passages:
Quantities, and the ratios of quantities, which in any finite time
converge continually to equality, and before the end of time approach
nearer to each other than by any given difference, become
ultimately equal ... Those ultimate ratios with which quantities
vanish are not truly the ratios of ultimate quantities, but limits
towards which the ratios of quantities decreasing without limit
do always converge; and to which they approach nearer than by
any given difference, but never go beyond, nor in effect attain
to, till the quantities are diminished ad infinitum.
Newton considered that the use of limits of ratios provided an adequate
basis for his calculus, without ultimately depending on indivisibles:
In Finite Quantities so to frame a Calculus, and thus to investigate
the Prime and Ultimate Ratios of Nascent or Evanescent
Finite Quantities, is agreeable to the Ancients; and I was willing
to shew, that in the Method of Fluxions there's no need of introducing
Figures infinitely small into Geometry. For this Analysis
may be performed in any Figures whatsoever, whether finite or
infinitely small, so they are but imagined to be similar to the
Evanescent Figures ...
The greatest champion of infinitely small and large numbers was Leonhard
Euler, said to be the most prolific of all mathematicians. He simply assumed
that such things exist and behave like finite numbers. A good illustration
of his approach is to be found in the book Introduction to the Analysis
of the Infinite (1748), where he developed infinite series for logarithmic,
exponential, and trigonometric functions from the following basis:
Let \(\omega\) be an infinitely small number, or a fraction so small that,
although not equal to zero, still \(a^\omega = 1 + \psi\), where \(\psi\) is also
an infinitely small number ... we let \(\psi= k\omega\). Then we have
\(a^\omega = 1 + k\omega\), and with a as the base for the logarithms, we
have \(\omega = \log(1 + k\omega)\) ... If now we let \(j = \frac{z}{\omega}\), where \(z\) denotes
any finite number, since \(\omega\) is infinitely small, then j is infinitely
large. Then we have \(\omega\frac{z}{j}\), where \(\omega\) is represented by a fraction
with an infinite denominator, so that \(\omega\) is infinitely small, as it
should be.
Euler took it for granted that Newton's formula for the binomial series
works for his numbers, and applied it to the expansion of \(a^z = a^{\omega j} =
(1 + k\omega)^j\) to deduce that
Since \(j\) is infinitely large, \(\frac{j-1}{j}= 1\), and the larger the number we
substitute for \(j\), the closer the value of the fraction \(\frac{j-1}{j}\) comes
to 1. Therefore, if \(j\) is a number larger than any assignable
number, then \(\frac{j-1}{j}\) is equal to 1. For the same reason \(\frac{j-2}{j}= 1,
\frac{j-3}{j} = 1\), and so forth.
His next step was a natural one:
Since we are free to choose the base a for the system of logarithms, we now choose a in such a way that \(k = 1...\) we obtain the value for
Whereas the modern view is that
Euler's demonstration that the function \(e^x\) is equal to its own derivative
employed the practice, which, as we saw, was adopted by Leibniz and Newton,
of "casting out" higher-order infinitesimals like \(dx\; dy, (dx)^2,(dx)^3\), etc.
Applying his series expansion for the exponential function to edx he argued
that
The conceptual foundations of the calculus continued to be controversial
and to attract criticism, the most famous being that of Berkeley, who wrote
(1734) in opposition to the ideas of Newton and his followers:
And what are these fluxions? The velocities of evanescent increments?
And what are these same evanescent increments? They
are neither finite quantities, nor quantities infinitely small, nor
yet nothing. May we not call them the ghosts of departed quantities?
Eventually infinitesimals were expunged from analysis, along with the dependence
on intuitive geometric concepts and diagrams. The subject was
"arithmetised" by the explicit construction of the real numbers out of
the rational number system by the work of Dedekind, Cantor, and others
around 1872. Weierstrass provided the purely arithmetical formulation
of limits that we use today, defining \(\lim_{x\rightarrow a} f(x) = L\) to mean that
Three centuries after the seminal discoveries of Newton and Leibniz, infinitesimals
were restored with a vengeance by Abraham Robinson, who
wrote in the preface to his 1966 book Non-standard Analysis:
In the fall of 1960 it occurred to me that the concepts and methods
of contemporary Mathematical Logic are capable of providing
a suitable framework for the development of the Differential
and Integral Calculus by means of infinitely small and infinitely
large numbers.
The progress of symbolic logic in the twentieth century had produced an
exact formulation of the syntax of mathematical statements; an account
of what it is for a statement to be true of a mathematical system or
structure-i.e. for the structure to be a model of the statement; and methods
for obtaining models of prescribed statements. One such method comes
from the compactness theorem:
Now suppose that we take \(\Sigma_{\mathbb{R}}\) to consist of all appropriate statements true
of \(\mathbb{R}\). (including the axioms for ordered fields amongst other things) together
with the infinitely many statements
この態度をさらに示すのは、彼の原稿の一つにある議論からの次の一節です。
もし \(dx, ddx ...\) が、ある虚構によって、消滅した後も、あたかも無限に小さな量であるかのように残ると想像されるならば（そして、これには危険はない。なぜなら、問題全体は常に割り当て可能な量に還元できるからである）、すると…
ニュートンの微積分の定式化は異なる言語を用いており、議論の対象となっている現象をより動的な概念で捉えていた。彼は、流束\(x, y,...\)を空間的または時間的に変化する量とみなし、その流束\(\dot{x},\dot{y},...\)を次のように考えていた。
流れの速度は、その発生運動によって増加します。
現代の用語では、流束\(\dot{x}\)は、\(x\)の\(\frac{dx}{dt}\)を時間t（または\(x\)の速度）に関して微分したものです。ニュートンは(1671)次のように書いています。
流動量のモーメント（つまり、無限に小さい各期間に加算されることによって増加する、無限に小さい部分）は、その流れの速度と同じです。特定の量、たとえば \(x\) のモーメントを、その速度 \(\dot{x}\) と無限に小さい量 \(o\) の積（つまり \(\dot{x}o\)）で表すとします。したがって、無限に小さい時間間隔後の量 \(x\) と \(y\) は、\(x + \dot{x}o\) と \(y + \dot{y}o\) になります。したがって、流動量の関係を常に変化なく表す方程式は、その関係を \(x + \dot{x}o\) と \(y + xとyの間には\dot{y}o\)が成り立ち、したがってx + xoとy + yoは、前述の式において後者の量xとoyの代わりに代入することができる。
言い換えれば、\((x, y)\) が \(x\) と \(y\) の方程式で定義された曲線上の点である場合、\((x + \dot{x}o, y + \dot{y}o)\) も曲線上にあります。しかし、これは正しくないように思えます。\((x + \dot{x}o, y + \dot{y}o)\) は、曲線自体上ではなく、\((x, y)\) を通る傾き \(\dot{y}/\dot{x}\) の曲線の接線上に位置するべきではないでしょうか。さらに、ニュートンは、提案された置き換えを行い代数計算を実行する際に、無限小量 o で割ることを許しながら、同時に次のように述べました。
\(o\) は量のモーメントを表現できるように無限に小さいと想定されているので、それを因子として持つ項は、他の項に関して無意味になります。したがって、私はそれらを除外します...
これは \(o\) をゼロとみなすことになるようです。
このような当惑は、微積分学の概念によって引き起こされる混乱の典型です。ニュートン自身も後年の著作で、流数理論を量の比の極限で説明しようとしました。彼は、（ライプニッツとは異なり）
数学的量は極めて小さな部分から構成され、継続的な運動によって生成されるものと考える。
そして
フラクションとは、フルエントの拡張とほぼ同じです。
彼の限界についての考え方は次の文章に表れています。
量、および量の比は、有限の時間において、絶えず等しさへと収束し、時の終わりの前には、いかなる与えられた差よりも互いに近づき、究極的には等しくなります。… 量が消滅する究極の比率は、実際には究極の量の比率ではなく、限りなく減少する量の比率が常に収束する限界です。そして、量はいかなる与えられた差よりも近くに近づきますが、量が無限に減少するまで、それを超えることはなく、実際に到達することもありません。
ニュートンは、比の極限の使用が、最終的には不可分なものに依存せずに、彼の微積分学に十分な基礎を提供すると考えました。
有限量において、このように微積分学を構築し、それによって発生的あるいは消滅的有限量の素比と極限比を調査することは、古代人にとっても容認できるものでした。そして私は、流数法においては、無限に小さい図形を幾何学に導入する必要がないことを示そうとしました。この解析は、有限であろうと無限に小さいであろうと、どのような図形でも実行できるため、それらは消滅的図形に類似していると想像されるだけです…
Euler オイラー
無限に小さい数と無限に大きい数の最大の擁護者は、数学者の中で最も多作な人物と言われているレオンハルト・オイラーでした。彼は、そのような数が存在し、有限数のように振る舞うと単純に仮定しました。彼のアプローチの良い例は、著書『無限の解析入門』（1748年）に見ることができます。そこで彼は、対数関数、指数関数、三角関数の無限級数を次の基底から導き出しました。
\(\omega\) を無限に小さい数、または 0 ではないものの \(a^\omega = 1 + \psi\) となるほど小さい分数とします。ここで \(\psi\) も無限に小さい数です。… \(\psi= k\omega\) とします。すると \(a^\omega = 1 + k\omega\) となり、対数の底を \(a\) とすると \(\omega = \log(1 + k\omega)\) となります。… ここで \(j = \frac{z}{\omega}\) とします。ここで \(z\) は任意の有限数を表します。\(\omega\) は無限に小さいので、\(j\) は無限に大きくなります。すると、\(\omega\frac{z}{j}\) が得られます。ここで、\(\omega\) は無限大の分母を持つ分数で表されるため、\(\omega\) は当然ながら無限に小さくなります。
オイラーは、ニュートンの二項級数の公式が彼の数に対して成り立つことを当然のこととして受け入れ、それを\(a^z = a^{\omega j} =
(1 + k\omega)^j\)の展開に適用して、
\[
a^z=1+\frac{kz}{1!}+\frac{k^2z^2}{2!}+\frac{k^3z^3}{3!}+\cdots
\]
and hence when \(z = 1\) that
そして\(z = 1\)のとき、
\[
a=1+\frac{k}{1!}+\frac{k^2}{2!}+\frac{k^3}{3!}+\cdots
\]
In fact, since \(k\omega = \frac{kz}{j}\), the general term \(\begin{pmatrix}j \\ n\end{pmatrix}(k\omega)^n\) of the binomial series for
\(a^z\) should be
実際、\(k\omega = \frac{kz}{j}\) なので、\(a^z\) の二項級数の一般項 \(\begin{pmatrix}j \\ n\end{pmatrix}(k\omega)^n\) は、
\[
\frac{j(j-1)(j-2)\cdots(j-n+1)}{n!}･\frac{k^nz^n}{j^n}
\]
but Euler reduced this to \(\frac{k^nz^n}{n!}\) by the following extraordinary reasoning:
しかしオイラーは次のような驚くべき推論によってこれを \(\frac{k^nz^n}{n!}\) に簡約しました。
\(j\) は無限に大きいので、\(\frac{j-1}{j}= 1\) となり、\(j\) に代入する数が大きくなるほど、分数 \(\frac{j-1}{j}\) の値は 1 に近づきます。したがって、\(j\) が代入可能な任意の数よりも大きい数である場合、\(\frac{j-1}{j}\) は 1 になります。同じ理由で、\(\frac{j-2}{j}= 1、\frac{j-3}{j} = 1\) などとなります。
彼の次のステップは自然なものでした。
対数系の底 \(a\) は自由に選べるので、\(k = 1...\)となるように \(a\) を選ぶと、
\[
a= 2.71828182845904523536028.
\]
When this base is chosen, the logarithms are called natural or
hyperbolic. The latter name is used since the quadrature of a
hyperbola can be expressed through these logarithms. For the
sake of brevity for this number 2. 718281828459･･･ we will use
the symbol \(e\) ･･･
この底を選んだ場合、対数は自然対数または双曲線対数と呼ばれます。後者の名称が使われるのは、双曲線の求積法がこれらの対数で表せるためです。この数 2. 718281828459･･･ については、簡潔にするために、記号 \(e\) を使用します。
一方、現代の見方では
\[
e=\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n
\]
Euler had obtained it by stipulating that \(e = (1 +\frac{1}{j})^j\), and indeed \(e^z =(1 + \frac{z}{j})^j\), for infinitely large \(j\). In this way he "proved" that
オイラーは、\(e = (1 + \frac{1}{j})^j\)、そして無限大の \(j\) に対しては \(e^z =(1 + \frac{z}{j})^j\) と規定することで、この式を得ました。このようにして、彼は次のことを「証明」しました。
\[
\begin{align}
e^z &=1+\frac{z}{1!}+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\cdots \\
\\
log(1 + x)&=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots
\end{align}
\]
and also showed that
そしてまた、
\[
\begin{align}
\cos x &= 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}\cdots = \frac{e^{ix}+e^{^ix}}{2} \\
\\
\sin x &= x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}\cdots=\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}
\end{align}
\]
by using the equations \(\cos \omega = 1, \sin \omega = \omega\), and \(j = j-1 = j-2 =\cdots\)
with \(\omega\) infinitely small and j infinitely large.
\(\cos \omega = 1, \sin \omega = \omega\)、\(j = j-1 = j-2 =\cdots\) という方程式を用います。\(\omega\) は無限に小さく、j は無限に大きいものとします。
オイラーは、関数 \(e^x\) がその導関数に等しいことを証明する際に、\(dx\; dy, (dx)^2,(dx)^3\) などの高階の無限小を「排除する」という手法を用いていました。これは既に述べたように、ライプニッツとニュートンによって採用されました。
指数関数の級数展開を edx に適用して、彼は次のように主張しました。
\[
\begin{align}
d(e^x) &= e^{x+dx}-e^x \\
\\
&= e^x(e^{dx}-1) \\
\\
&= e^x(dx+\frac{(dx)^2}{2!}+\frac{(dx)^3}{3!}+\cdots) \\
\\
&= e^xdx
\end{align}
\]
Demise of Infinitesimals 無限小の終焉
微積分の概念的基礎は論争を巻き起こし、批判を集め続けました。最も有名なのは、ニュートンとその追随者たちの考えに反対してバークリーが書いた（1734年）ものです。
では、これらのフラクションとは何でしょうか？ 消えゆく増分の速度でしょうか？
そして、これらの同じ消えゆく増分とは何でしょうか？ それらは
有限量でも、無限に小さい量でもなく、
それでも無ではありません。過ぎ去った量の亡霊と呼べるのではないでしょうか？
最終的に、無限小は解析から排除され、直感的な幾何学的概念や図への依存も排除されました。この分野は、1872年頃、デデキント、カントールらの研究によって、有理数体系から実数を明示的に構築することで「算術化」されました。ワイエルシュトラスは、今日私たちが使用している極限の純粋に算術的な定式化を提供し、\(\lim_{x\rightarrow a} f(x) = L\) を次のように定義しました。
\[
(\forall\varepsilon\gt 0)(\exists\delta\gt 0)\; such\; that\; 0 <|x-1|<\delta\; implies\; |f(x)-L|\lt \varepsilon
\]
Robinson ロビンソン
ニュートンとライプニッツの画期的な発見から3世紀後、無限小はアブラハム・ロビンソンによって猛烈な勢いで復活しました。彼は1966年の著書『非標準解析』の序文で次のように書いています。
1960年の秋、私は現代の数理論理学の概念と方法が、無限に小さい数と無限に大きな数を用いた微分積分学の発展に適した枠組みを提供できるのではないかと考えました。
20世紀における記号論理の進歩は、数学的命題の統語論の正確な定式化、数学的体系または構造について命題が真であるということ、すなわちその構造が命題のモデルであるということの説明、そして、規定された命題のモデルを得るための方法を生み出した。そのような方法の一つは、コンパクト性定理に由来する。
適切な種類のステートメントの集合 \(\Sigma\) が、\(\Sigma\) の各有限部分集合 \(\Sigma^\prime\) にモデル（\(\Sigma^\prime\) のすべてのメンバーが真である構造）が存在するという性質を持つ場合、\(\Sigma\) 自体のモデルである単一の構造が存在する必要があります。
ここで、\(\Sigma_{\mathbb{R}}\) が \(\mathbb{R}\) について成り立つすべての適切なステートメント（とりわけ順序体の公理を含む）と、無限個のステートメントから構成されると仮定する。
\[
0 < \varepsilon, \varepsilon < 1, \varepsilon < \frac{1}{2}, \varepsilon < \frac{1}{3},\cdots, \varepsilon < \frac{1}{n},\cdots
\]
Using the compactness theorem it can be deduced that \(\Sigma_{\mathbb{R}}\) has a model
\({}^*\mathbb{R}\), which will be an ordered field in which the element \(\varepsilon\) is a positive
infinitesimal. Moreover, this model will satisfy the transfer principle:
コンパクト性定理を用いると、\(\Sigma_{\mathbb{R}}\) にはモデル \({}^*\mathbb{R}\) が存在することが示され、これは元 \(\varepsilon\) が正の無限小である順序体となる。さらに、このモデルは移行原理を満たす。
適切に定式化された任意のステートメントが \(\Sigma_{\mathbb{R}}\) について真であるのは、それが \(\mathbb{R}\) について真である場合に限ります。
This is reminiscent of Leibniz's above-quoted remark that
これは、ライプニッツが上で引用した次の発言を彷彿とさせる。
the whole matter can be always referred back to assignable quantities,
全体の事柄は常に割り当て可能な量に遡ることができる。
and might even suggest that there is no point in considering \({}^*\mathbb{R}\), since it
satisfies the same theorems as \(\mathbb{R}\). But on the contrary, what it offers is a
new methodology for real analysis, because the availability of infinitesimals
allows for easier and more intuitively natural proofs in \({}^*\mathbb{R}\) of some theorems
that can then immediately be inferred to hold of \(\mathbb{R}\) by transfer.
また、\({}^*\mathbb{R}\) は \(\mathbb{R}\) と同じ定理を満たすので、\({}^*\mathbb{R}\) を考慮する意味がないとさえ示唆するかもしれません。しかしそれどころか、\({}^*\mathbb{R}\) は実解析のための新しい方法論を提供します。なぜなら、無限小を利用できることで、\({}^*\mathbb{R}\) におけるいくつかの定理の証明がより容易かつ直感的に自然になり、それらの証明は移行によって \(\mathbb{R}\) にも成り立つと直ちに推論できるからです。
Of course for this to work, the theorems in question must be "appropri.,.
ately formulated", and explaining what this means is one of our major goals.
As we shall see, \({}^*\mathbb{R}\) fails to satisfy Dedekind's completeness axiom stipulating
that any nonempty set with an upper bound must have a least upper
bound, so this is not the sort of assertion to which transfer applies. In order
to determine which statements are subject to it we will need the "concepts
and methods of contemporary Mathematical Logic" that were available to
Robinson, but not to Leibniz, nor indeed to those in the intervening period
who tried to work with infinitesimals or construct non-Archimedean extensions
of the real number system. Robinson's great achievement was to turn
the transfer principle into a working tool of mathematical reasoning. In
the last few decades it has been applied to many areas, including analysis,
topology, algebra, number theory, mathematical physics, probability and
stochastic processes, and mathematical economics.
もちろん、これが機能するためには、問題の定理が「適切に、正確に定式化」されていなければなりません。そして、これが何を意味するのかを説明することが、私たちの主要な目標の一つです。
後で見るように、\({}^*\mathbb{R}\) は、上界を持つ任意の空でない集合は必ず最小の上界を持つというデデキントの完全性公理を満たさないため、これは移行原理が適用される種類の主張ではありません。どの命題が移行原理の対象となるかを判断するには、「当時の数理論理学の概念と方法」が必要になりますが、それはロビンソンには利用可能でしたが、ライプニッツや、その中間の時代に無限小数を扱ったり、実数系の非アルキメデス的拡張を構築しようとした人々には利用できませんでした。ロビンソンの偉大な功績は、移行原理を数学的推論の実用的なツールに変えたことです。過去数十年間にわたり、解析学、位相幾何学、代数学、数論、数理物理学、確率過程、数理経済学など、多くの分野に応用されてきました。
To those unfamiliar with formal logic, the use of compactness may seem
like a kind of sleight of hand. A model of \(\Sigma_{\mathbb{R}}\) is produced, but we do not see
where it came from. However, the compactness theorem itself has a proof,
and one way to prove it is to use the notion of an ultraproduct, an algebraic
construction that takes all the assumed models of the finite subsets of E
and builds a model of \(\sigma\) out of them. We can apply this construction
directly to the structure \(\mathbb{R}\) to build \({}^*\mathbb{R}\) as a special kind of ultraproduct
called an ultrapower. This will be our first main task.
形式論理に馴染みのない人にとって、コンパクト性の利用は一種の手品のように見えるかもしれません。\(\Sigma_{\mathbb{R}}\) のモデルは生成されますが、それがどこから来たのかは分かりません。しかし、コンパクト性定理自体には証明があり、それを証明する一つの方法は、超積の概念を用いることです。超積とは、E の有限部分集合のすべての想定モデルを取り、それらから \(\sigma\) のモデルを構築する代数的構成です。この構成を構造 \(\mathbb{R}\) に直接適用することで、\({}^*\mathbb{R}\) を超冪と呼ばれる特別な種類の超積として構築することができます。これが私たちの最初の主要な課題となります。
Consideration of this question provides motivation for the definition of the
hyperreal number system. Here are some standard answers.
この問いの考察は、超実数系の定義の動機付けとなる。以下に標準的な解答を示す。
Answer (2) provides the basis for the axiomatic or descriptive approach
to the analysis of \(\mathbb{R}\). The object of study is simply described as being a
complete ordered field, since all its properties derive from that fact. The
axioms for a complete ordered field are listed, and everything follows from
that. This is by far the favoured approach in introductory texts on real
analysis.
答え(2)は、\(\mathbb{R}\)の解析に対する公理的あるいは記述的アプローチの基礎を提供する。研究対象は、そのすべての性質がその事実から導かれるため、単に完全順序体であると記述される。完全順序体の公理が列挙されており、すべてはそこから導かれる。これは、実解析の入門書において圧倒的に好まれているアプローチである。
The constructive approach takes as given only the rational number system
and proceeds to construct \(\mathbb{R}\) explicitly. There are at least two ways
to do this, due respectively to Dedekind (answer (3)) and Cantor (answer (4)).
構成的アプローチでは、有理数系のみを与えられたものとして取り、\(\mathbb{R}\) を明示的に構成します。これを行うには、少なくとも2つの方法があり、それぞれデデキント（解答(3)）とカントール（解答(4)）によるものです。
It would be possible to develop an axiomatic approach to the hyperreals
\({}^*\mathbb{R}\) by assuming that we are dealing with an ordered field containing \(\mathbb{R}\) as
well as infinitesimals and satisfying the transfer principle "appropriately
formulated"n. However, in view of the controversial history of the notion
of infinitesimal, one could be forgiven for wondering whether this is an
exercise in fantasy, or whether there does exist a number system satisfying
the proposed axioms. The constructive approach is needed to resolve this
issue. We will be discussing a construction of \({}^*\mathbb{R}\) out of \(\mathbb{R}\) that is analogous
to Cantor's construction of \(\mathbb{R}\) out of \(\mathbb{Q}\). Hyperreal numbers will arise as
equivalence classes of real-valued sequences, and the challenge will be to
find an equivalence relation on such sequences that produces the desired
outcome.
\({}^*\mathbb{R}\) と無限小数を含む順序体を対象とし、「適切に定式化された」n の移行原理を満たすと仮定すれば、超実数 \({}^*\mathbb{R}\) への公理的アプローチを展開することが可能です。しかし、無限小数の概念をめぐる論争の歴史を考えると、これは単なる空想の産物なのか、それとも提案された公理を満たす数体系が実際に存在するのか疑問に思うのも無理はありません。この問題を解決するには、構成的アプローチが必要です。ここでは、カントールが \(\mathbb{Q}\) から \(\mathbb{R}\) を構築した方法に類似した、\(\mathbb{R}\) から \({}^*\mathbb{R}\) を構築する方法について議論します。超実数は実数値列の同値類として出現し、課題はそのような列上で望ましい結果を生み出す同値関係を見つけることです。
To conclude this introduction to our subject, let us examine another
putative answer to the question "what is a real number?"-namely, that a
real number is a point on the number line:
このテーマの導入を締めくくるにあたり、「実数とは何か？」という問いに対するもう一つの想定される答え、すなわち、実数は数直線上の点であるという答えを検討してみましょう。
Now, the intuitive geometric idea of a line is an ancient one, much older
than the notion of a set of points, let alone an infinite set. The identification
of a line with the set of points lying on that line is a perspective that belongs
to modern times. For Euclid a line was simply " length without breadth"n,
and his diagrams and arguments involved lines with a finite number of
points marked on them. By applying the field operations and taking limits
of converging sequences we can assign a point to each real number, but the
claim that this exhausts all the points on the line is just that: a claim. One
could seek to justify it by invoking a principle such as the one attributed
to Eudoxus and Archimedes that any two magnitudes are such that
さて、直線という直感的な幾何学的概念は古代のものであり、点の集合という概念よりもはるかに古く、ましてや無限集合という概念は存在しません。直線とその直線上にある点の集合を同一視する考え方は、近代に生まれたものです。ユークリッドにとって直線とは単に「幅のない長さ」であり、彼の図や議論は有限個の点が記された直線を対象としていました。体演算を適用し、収束する数列の極限をとることで、各実数に点を割り当てることができますが、これで直線上のすべての点が網羅されるという主張は、単なる主張に過ぎません。エウドクソスとアルキメデスに帰せられる原理、すなわち任意の2つの大きさは
the less can be multiplied so as to exceed the other.
より少ないものを、他を上回るように増やすことができる。
This entails that for each real number r there is an integer n > r, and that
precludes there being any infinitely large or small numbers in \(\mathbb{R}\). But then
one could say that the Eudoxus-Archimedes principle is just a property
of those points on the line that correspond to "assignable" numbers. The
hyperreal point of view is that the geometric line is capable of sustaining
a much richer and more intricate number set than the real line.
これは、任意の実数rに対して整数n > rが存在することを意味し、\(\mathbb{R}\)内に無限に大きい数や無限に小さい数が存在することを排除します。しかし、エウドクソス-アルキメデスの原理は、直線上の「割り当て可能な」数に対応する点の特性にすぎないと言うこともできます。超実数的な観点からは、幾何学的な直線は実数直線よりもはるかに豊かで複雑な数集合を維持できるということです。
Amongst the numerous books available, the following are worth consulting
for more details on the historical background we have been discussing.
数多くの書籍がありますが、私たちが議論してきた歴史的背景の詳細については、以下の書籍を参照する価値があります。