クォータニオン(四元数)

複素数があって、四元数があって、八元数があるなら、16元数や32元数があっても良さそうに思えるが、この安直な期待は正しくない。

Hamilton は、実数の3つ組(triplet)に積を適当に定義して、複素数を更に拡張できるかという問題に取り組んだ。

10 年とも言われる長い試行錯誤の末、1843 年の10 月16 日に、3つ組ではなく4つ組には、前節で挙げた実数の満たす 7つの法則のうち、1 つを除いて全てを満たす積が定義できる事を発見した。たった1 つ失われる法則は掛け算の交換法則である。

Hamilton が四元数を発見してすぐに、Hamilton の大学時代からの友人であったJohn Thomas Graves は、実数の8つ組に対しても、7つの法則から2つを除いた残りを満たす積が定義される事を発見した。これが八元数であり、積の交換法則に加えて積の結合法則が失われる。

体(Filed)の満たすべき条件 \[ \begin{array}{|c|l|l|} \hline \textbf{No.} & \textbf{法則} & \textbf{例}\\ \hline \text{1} & \text{足し算の結合法則} & a+(b+c)=(a+b)+c \\ \hline \text{2} & \text{足し算の交換法則} & a+b=b+a\\ \hline & \text{足し算に関する単位元の存在} & a+0=a\\ \hline \text{3} & \text{足し算に関する逆元 (あるいは引き算) の存在} & a + (-a) = 0,\quad a-a=0 \\ \hline {\color{purple}\textbf{4}} & {\color{purple}\textbf{掛け算の結合法則}} & {\color{purple}{a×(b×c)=(a×b)×c}} \\ \hline {\color{purple}\textbf{5}} & {\color{purple}\textbf{掛け算の交換法則}} & {\color{purple}{a×b=b×a}}\\ \hline & \text{掛け算に関する単位元の存在} & a×1=a\\ \hline \text{6} & \text{掛け算に関する逆元 (あるいは割り算) の存在} & a×\frac{1}{a}=1,\quad a÷a=1 \\ \hline \text{7} & \text{足し算と掛け算に関する分配法則} & a×(b+c)=a×b+a×c\\ \hline & \text{0以外の元の存在} & 1\neq 0 \\ \hline \end{array} \]

四元数を「信仰」する学派はHamilton の死後も生き残り、「ベクトル派」の学者と激しい論争を繰り広げたという。この論争はベクトル派の勝利に終わり、四元数派は表面的にはほぼ完全に消滅した。

しかし、形を変えた四元数派は今も生き残っている。Hamilton は、3元数ではなく四元数が存在することの「理由」の候補として、我々の住む3次元の空間に時間を加えたものが4 次元になることを挙げている。

　一方、弦の理論家は、我々の住む時空が実は4次元ではなく11次元であることを主張する。余分の7次元は純虚八元数の空間と同一視され、例外型単純Lie 群G2 が自然に作用する。また、E8×E8 混成弦理論と呼ばれる弦理論があり、その名の通り例外型単純Lie 群E8 が中心的な役割を果たすが、ここにも八元数が密かに顔を出していると見ることもできる。これらの事実が数秘術を超えて実体を獲得するかどうかは、時間のみが答えてくれるであろう。