ある日、アルキメデスはゆっくりと入浴していた際、浴槽に水を満たした状態で入浴すると、浴槽から溢れ出る水に気づきました。彼は自分の体重と浴槽から溢れ出た水の量には何らかの関係があるに違いないと推測し、この方法が王冠のジレンマを解くのに役立つのではないかと考えました。そこでアルキメデスは、銀と金の塊を使って実験を行い、それらが押しのけた水の量と、王冠を水に浸した際に溢れ出る水の量を比較しました。
アルキメデスは、王の問題（王冠は純金で作られていなかったことが判明）を解決しただけでなく、観察を通して物が浮く理由も解明しました。彼は、水中に沈んだ物体には、押しのけた水の重さに等しい上向きの力（浮力）がかかっているはずだと結論付けました。これは物理学においてアルキメデスの原理として知られています。
アルキメデスはこの発見に興奮し、風呂から飛び出し、裸のまま「エウレカ！」（「見つけた！」という意味）と叫びながら道を駆け下りたと伝えられています。つまり、彼は事実上、同時に複数の「エウレカ！」の瞬間を発明したのです。